指派问题的匈牙利法

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1、指派问题指派问题是一种特殊的整数规划问题一、问题的提出设有m个工人，能做n件事，但效率不同，并规定每个工人做且只能做一件事，每件事有且只能有一个工人做，问应该如何安排他们的工作，使花费的总时间（成本）最少或效率最高？二、指派问题的数学模型设第i个工人做第j件事的时间是，决策变量是则数学模型如下举例说明1）表上作业法2）匈牙利法例有四个工人和四台不同的机床，每位工人在不同的机床上完成给定的任务的工时如表5.12所示，问安排哪位工人操作哪一台机床可使总工时最少？任务1任务2任务3任务4工人1工人2工人3工人4215134104147314161378119

2、获得初始解：圈零/划零操作将时间矩阵C的每一行都减去相应行的最小元素和每一列都减去相应列的最小元素，使每一行和每一列都含有零；从最少零数的行或列开始，将“零”圈起来，并划去它所在行和所在列的其它零；反复做2），直到所有零被圈起或被划掉为止。得到初始解。判断是否为最优解：圈起的零的个数是否等于n。确定调整行和列在没有圈起的零所在行上打“√”；在打“√”行中所有零所在的列打“√”；在打“√”列中含有圈起零的行上打“√”，反复执行2）和3）两步，直到不能打“√”为止；用直线划去打“√”的列和不打“√”的行，没有划去的行构成调整的行，划去的列构成调整列。调整可

3、行解的方法在调整行中寻找最小的元素，将它作为调整量；将调整行各元素减去调整量，对调整列中各元素加上调整量。再次执行“圈零”和“划零”的操作，并循环以上的步骤，直到圈起的零数等于n为止。匈牙利法解例3.3时间矩阵各行各列减去最小元素后得圈零划零得最优解将圈起的零改为1，其它元素改为0，即得最优解如下最小总时间为22。再看一例请求解如下矩阵表达的指派问题减去最小元素圈零划零打勾划线确定调整行和列√√√调整可行解再圈零划零得最优解另一最优解最小时间（成本）minz=32匈牙利算法示例（二）、解题步骤：指派问题是0-1规划的特例，也是运输问题的特例，当然可用整

4、数规划，0-1规划或运输问题的解法去求解，这就如同用单纯型法求解运输问题一样是不合算的。利用指派问题的特点可有更简便的解法，这就是匈牙利法，即系数矩阵中独立0元素的最多个数等于能覆盖所有0元素的最少直线数。第一步：变换指派问题的系数矩阵（cij）为(bij)，使在(bij)的各行各列中都出现0元素，即(1)从（cij）的每行元素都减去该行的最小元素；(2)再从所得新系数矩阵的每列元素中减去该列的最小元素。第二步：进行试指派，以寻求最优解。在(bij)中找尽可能多的独立0元素，若能找出n个独立0元素，就以这n个独立0元素对应解矩阵(xij)中的元素为1，

5、其余为0，这就得到最优解。找独立0元素，常用的步骤为：(1)从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。然后划去◎所在列(行)的其它0元素，记作Ø；这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人了。(2)给只有一个0元素的列(行)中的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作Ø．(3)反复进行(1)，(2)两步，直到尽可能多的0元素都被圈出和划掉为止。(4)若仍有没有划圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有两个，则从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多

6、的要“礼让”选择性少的)。然后划掉同行同列的其它0元素。可反复进行，直到所有0元素都已圈出和划掉为止。（5）若◎元素的数目m等于矩阵的阶数n，那么这指派问题的最优解已得到。若m

7、试指派；若l＝m

8、问如何分派任务，可使总时间最少？任务人员ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982例