已知应力状态如图所示

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1、8.2.已知应力状态如图所示，应力单位为MPa。试用解析法和应力圆分别求：(1)主应力大小，主平面位置；(2)在单元体上绘出主平面位置及主应力方向；(3)最大切应力。20803020402050202040(b)(d)(e)(f)解：(b)(1)应力分量σ==50MPaστ0=−20MPaxyxy主平面位置和主应力大小2τxytg20α=−=.80σσxy−ooo∴αα=+19.390=109.300⎧σσσ+−σσmaxxyxy22⎨=±()+τxy⎩σmin225050⎧57.0MPa22=±()+−=(20)

2、⎨22⎩−7.0MPa∴=σσ57.0MPa=0σ=−7.0MPa123(2)画主平面位置及主应力方向：σx>σy，α0面对应σmax。σ3σ1o19.3(3)最大剪应力σ−σ57.07.0+13τ===32.0MPamax22(4)应力圆τ(0,20)o-7.038.657.0σ(50,-20)(d)(1)应力分量σ=−40MPaστ=−20MPa=−40MPaxyxy主平面位置和主应力大小2τxytg24α=−=−0σσxy−ooo∴αα=−38+90=52002⎧σσσ+−⎛⎞σσmaxxyxy2⎨=±⎜⎟+

3、τxy⎩σmin22⎝⎠2−−4020⎛⎞−+40202⎧11.2MPa=±⎜⎟+()−40=⎨22⎝⎠⎩−71.2MPa∴=σσ11.2MPa=0σ=−71.2MPa123(2)画主平面位置及主应力方向：σx<σy，α0面对应σmin。σ138oσ3(3)最大剪应力σ−σ11.271.2+13τ===41.2MPamax22(4)应力圆(-20,40)τ-71.276o11.2σ(-40,-40)(e)(1)应力分量σ==0στ−80MPa=20MPaxyxy主平面位置和主应力大小2τxytg20α=−=−.50

4、σσxy−ooo∴=αα−13.3+=9076.700上海理工大学力学教研室1⎧σσσ+−σσmaxxyxy22⎨=±()+τxyσ22⎩min−808022⎧4.7MPa=±()2+=0⎨22⎩−84.7MPa∴=σσ4.7MPa=0σ=−84.7MPa123(2)画主平面位置及主应力方向：σx>σy，α0面对应σmax。σ3o13.3σ1(3)最大剪应力σ−σ4.784.7+13τ===44.7MPamax22(4)应力圆τ(0,20)o26.6-84.74.7σ(-80,-20)(f)(1)应力分量σ=−20

5、MPaστ=30MPa=20MPaxyxy主平面位置和主应力大小2τxytg20α=−=.80σσxy−ooo∴=αα19.3+=90109.300⎧σσσ+−σσmaxxyxy22⎨=±()+τxyσ22⎩min−+2030−−203022⎧37MPa=±()+20=⎨22⎩−27MPa∴=σσ37MPa=0σ=−27MPa123(2)画主平面位置及主应力方向：σx<σy，α0面对应σmin。上海理工大学力学教研室2σ3o19.3σ1(3)最大剪应力σ−σ3727+13τ===32MPamax22(4)应力圆τ(

6、-20,20)o38.6-2737σ(30,-20)8.3.在图示应力状态应力单位为中MPa，试用解析法计算和应力圆求出指定斜截面上的应力。5070705020oo3030703070100o30o30(b)(d)(e)(f)解：(b)(1)应力分量oσστ===30MPa50MPa−20MPa0α=30xyxy(2)用解析法求斜截面上的应力σ+−σσσxyxyσα=+cos2−τsin2ααxy223050+−3050=+cos60°−()−°20sin60=52.3MPa22σσ−xyτα=+sin2τcos2

7、ααxy23050−=°sin60+()−20cos60°=−18.7MPa2(3)应力圆上海理工大学力学教研室3τ(50,20)oσ60(52.3,-18.7)(30,-20)(d)(1)应力分量oσστ==70MPa−=70MPa0α=30xyxy(2)用解析法求斜截面上的应力σ+−σσσxyxyσ=+cos2ατ−sin2ααxy227070−+7070=+cos60°=35MPa22σσ−xyτα=+sin2τcos2ααxy27070+=°sin60=60.6MPa2(3)应力圆τ(35,60.6)o60

8、-7070σ(e)(1)应力分量oσ=70MPaσ=70MPaτ=0α=30xyxy(2)用解析法求斜截面上的应力σ+σσ−σxyxyσ=+cos2α−τsin2ααx2270+70==70MPa2σ−σxyτ=sin2α+τcos2α=0αx2(3)应力圆：为一点圆τ(70,0)σ上海理工大学力学教研室4(f)(1)应力分量oσστ===100MPa50M