川大物理yb-2011-7刚体+角动量小结

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1、角动量定理、角动量守恒定律一、角动量定理作用力的时间累积——冲量、动量定理力矩的时间累积——冲量矩、动量矩（角动量）定理1.对质量m的质点GK=KKK定义动量矩（角动量）LL=zr×p=rmvr×mvtG2定义冲量矩Mdt∫zt1t2GGG质点角动量定理Mdt=Jω−Jω∫zz2z1t1即质点的冲量矩等于角动量的增量。t2ω1GG2.对定轴转动刚体∫tMdt=∫ωd(Jω)=J2ω2−J2ω112——刚体角动量定理（动量矩定理）二、角动量守恒定律KGG如果M=0,则Jω=Jω=常量2212G如果M=0,则L=Jω=常量zz小节：tG

2、GG动量定理:∫Fdt=P−P0t0A+A=E−E动能定理:外内KQKP功能原理:AA+=+−+()EEEE()外非保守KPQQKPPPt2GGMtJd=−ωJω角动量定理:∫t222111小节：动量守恒定律——合外力为零或其分量为零；GNF=0GG合外力P=∑pi=常矢量i=1角动量守恒定律——合外力矩为零;GGM=0L=常矢量外当∑Mzi=0时∑Jziωi=常量ii机械能守恒定律——只有保守内力作功的系统；若A+A=0E+E=常量外内非kP结构框图刚体转动刚体运动学角量角速度、角加速度刚体动力学P角量与线量关系力矩牛顿定律角动量

3、角动量角动量角动量守刚体定轴转动定律变化率定理恒定律转动惯量力矩动能转动作功定理动能2直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动刚体的定轴转动22dxdvdxdθdωdθv=a==ω=β==22dtdtdtdtdtdt1212P=mvEK=mvL=JωEK=Jω22FmMJdA=FdxFdtdA=MdθMdtF=maM=Jβ∫Fdt=P−P0∫Mdt=L−L012121212Fdx=mv−mvMdθ=Jω−Jω∫0∫02222刚体运动学中角量和线量的关系2dθdωdθω＝α==2dtdtdt2v=rωa=rαa=rωtn刚体绕定轴作匀

4、变速转动1222θ=θ+ωt+αtω=ω+2α(θ−θ)00002ω=ω+αt0刚体的转动定律M=Jα外zz3例1.半径为R的均匀细圆环，可绕通过环上O点且垂直于环面的水平光滑轴在竖直平面内转动，若环最初静止时直径OA沿水平方向，如图所示。环由此位置下摆，求A到达最低位置时的速度。解：以环、地球为系统，系统机OA械能守恒设O点为势能零点R12Jω−MgR=022222J=J+MR=MR+MR=2MRcg∴ω=υA=2Rω=2gRR例2．一质量m=6.00㎏、长l=1.00m的匀质棒，放在水平桌面上，可绕通过中心的竖起固定轴转动，对轴

5、的转动惯量2。t=0时Jm=l/12棒的角速度ω0=10.0rad/s。由于受到恒定的阻力矩的作用，t=20s时棒停止运动，求：（1）．棒的角加速度的大小；（2）．棒所受阻力矩的大小；（3）．从t=0到t=20s时间内棒转过的角度。解：（1）0=+ωβtβ=−0.5rads/20（2）MrJ==β−0.25Nm.（3）12θω=+ttrβ=75ad024例3.一个质量为m的小虫，在有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘边缘上，沿逆时针方向转动，相对于地面的角速度为v，此时圆盘正沿顺时针方向转动，相对于地面的角速度为ω。设圆盘对中心轴的转动惯

6、0量为J。若小虫停止爬行，则圆盘的角速度为。解：系统角动量守恒，设顺时针转为正，圆盘半径为R，2Jω−mRv=(mR+J)ω0Jω−mRv∴ω=02J+mR例4．如图所示，一半径为R，质量为m的水平圆台，正以角速度ω绕通过其中心的竖直0固定光滑轴转动，转动惯量J=mR2/2.台上原站有2人，质量各等于转台质量的一半，一人站于台边A处，另一人站于距台中心R/2的B处。今A处的人相对圆台以速率v顺着圆台转向沿圆周走动，同时B处的人相对圆台以速率2v逆圆台转向沿圆周走动。求圆台这时的角速度ω。ω0ωRRG2υR/2oBOG2υAR5解：以

7、转台和二人为研究对象，所受外力只有重力及轴的支撑力，诸力对转轴的合力矩为零，所以系统角动量守恒，各转动惯量分别为：1R21212JB=m()J=mRJA=mR2222以地面为参照系，A处的人走动的角速度为，ω+v/RB处的人走动的角速度为，1ω−2v/R=ω−4v/R2由角动量守恒定律⎡121212⎤mR+mR+m(R/2)ω⎢⎥0⎣222⎦1212v1R24v=mRω+mR(ω+)+m()(ω−)22R22R解出ω=ω0P23例5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重

8、物，如图。求当人相对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？解1：选人、滑轮、与重物为系1τ=MgRM/4，R统，系统所受对滑轮的外力矩为2设u为人相对绳的匀速度，v为重物上升的速度。MM/2则该系统对滑轮轴的角动量为M1M213L=