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《09-2-2牛顿-分段线插值》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034h第二章插值法知识点：拉格朗日插值法，牛顿插值法，余项，分段插值。Newton插值法Lagrange插值多项式的一个缺点是没有承袭性质，增加插值节点时，需要重新计算所有插值基函数。牛顿插值多项式克服了这一缺点：增加一个节点时，可在原插值多项式基础上增加一项构成高一阶的插值多项式。（1）差商即其性质上的二在节点定义设函数y=f(x)在区间[a,b]上n+1个互异节点0{xj}n处的值为：yi=f(xi)（i=0,1,2,…,n）-①称ji
2、jijixxxfxfxxf-D)()(],[为f(x)在节点xi,上的一阶差商；②称kikjjikjixxxxfxxfxxxf--D],[],[],,[为在节点阶差商；依次类推：③称nnnnxxxxxfxxxfxxxf--D-02111010],...,,[],...,[],...,,[为上的n阶差商.商；xjf(x)xkxj,xi,f(x)x0,x1,…,xn))....()(()()()(],...,,[),...,2,1,0()(],...,,[1100'1010nnjjjnjnxxxxxxx
3、xxfxxxfnjxfxxxfn---===∑=ww其中的线性组合，即函数值是阶差商性质证采用数学归纳法即证性质2差商与节点排列顺序无关。（2）线性牛顿插值设互异y0=f(x0)，y1=f(x1),构造线性插值函数的牛顿格式N1(x)使y0=N1(x0)，y1=N1(x1)。利用点斜式，构造N1(x)=a0+a1(x-x0)由f(x0)=N1(x0)=a0)()(0101],[10xxfxxxfxf=--a1=f(x1)=N1(x1)=f(x0)+a1(x1-x0)得3《计算方法引论》、徐翠薇，高等
4、教育出版社2008年4月第三版第二章Newton插值法2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034h],[10xxfN1(x)=f(x0)+(x-x0)（3）二次牛顿插值设互异y0=f(x0)，y1=f(x1),y2=f(x2),构造二次牛顿插值多项式N2(x)使y0=N2(x0)，y1=N2(x1)，y2=N2(x2)。令N2(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)因在构造N1(x)过程中已得a0和a1，只要求出a2即可由a2=],,[210xxxf],[1
5、0xxff(x2)=N2(x2)=f(x0)+(x2-x0)+a2(x2-x0)(x2-x1)得],,[210xxxf],[10xxfN2(x2)=f(x0)+(x2-x0)+(x2-x0)(x2-x1)(4)一般情况设互异yi=f(xi)，i=0,1,…,n。构造n次牛顿插值多项式Nn(x)使yi=Nn(xi)，i=0,1,…,n,。根据差商定义插值公式和余项。上的在节点分别为、其中Newton}{)()()()(],...,[))...()((...],,[))((],[)()()(010110
6、210101000ninnnnnxxfxR)(nxNxRxNxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxfxxxfxf+=---++--+-+=],...,,[))()...()((10110nnnxxxxfxxxxxxxx----+--)(n+1xN)(nxN],...,[))()...()((10110n+1nnxxxfxxxxxxxx----+-=分段插值（1）高阶插值与龙格现象构造插值多项式时，根据误差表达式，是否多取插值点比少取插值点好？不一定！若被插函数是多项式，则多取插值点比少取插值点好。
7、但对某些函数，有时插值点越多，效果越不理想。例如给定225x11=x)f(+xÎ[-1,1]225x11,x(+ii)对[-1，1]作等距分割，取h=2/10=0.2，xi=-1+0.2i，，3《计算方法引论》、徐翠薇，高等教育出版社2008年4月第三版第二章Newton插值法2009~2010学年第一学期计算方法教案计0701-07034hi=0，1，…，10。构造10次插值多项式L10(x),在0点附近,L10(x)近似f(x)的效果好，但在x=-0.90,-0.70,0.70,0.90时，误差
8、较大！插值多项式在插值区间内有激烈振荡，这种现象称龙格现象。P29图2-4。龙格现象揭示了插值多项式的缺陷，表明高次多项式的插值效果不一定优于低次多项式的插值效果。插值误差由截断误差和舍入误差组成，由插值节点和计算产生的舍入误差，在插值过程中可能被扩散或放大，造成插值不稳定，高次多项式的稳定性一般比较差。（2）分段线性插值加密插值节点不一定能使插值函数很好逼近被插函数，于是就有了分段线性插值的概念。基本思想：给定区间[a，b]，作分割a=x0
