离散数学-3-9集合的划分和覆盖

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1、第三章集合与关系3-9集合的划分和覆盖授课人：李朔Email:chn.nj.ls@gmail.com1一、集合的覆盖和划分在集合的讨论中，常须把一个集合分成若干子集加以讨论，这就是集的划分问题。如一个班男、女生。一个学院不同专业。P128定义3-9.1若把一个集合A分成若干个称为分块的非空子集，使得A中每个元素至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合称为A的一个覆盖。上述定义与下面定义是等价。令A为给定非空集合，S={S1,S2,,Sm},其中SiA且Si(i=1,2,,m)且则称S是集合A的一个覆盖。*如果A中每个元素

2、属于且仅属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集叫做A的一个划分（或分划）。即：若有SiSj=(ij)，则称S为A的一个划分。2一、集合的覆盖和划分例设A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合：S=a,b,b,cQ=a,a,b,a,cD=a,b,cG=a,b,cE=a,b,cF=a,a,c试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪些集合既不是覆盖，也不是划分？3一、集合的覆盖和划分例设A=a,b,c，以下是A的子集构成的集合：S=a,b,

3、b,cQ=a,a,b,a,cD=a,b,cG=a,b,cE=a,b,cF=a,a,c试确定哪些集合是A的覆盖？哪些集合是A的划分？哪些集合既不是覆盖，也不是划分？解：S和Q是A的覆盖，但不是划分；D、G和E是A的覆盖，也是划分；F不是A的覆盖，也不是划分。4一、集合的覆盖和划分例A={a,b,c}则S={{a,b},{b,c}}、Q={{a},{a,b},{a,c}}都为A的覆盖，而D={{a},{b,c}}、G={{a,b,c}}、E={{a},{b},{c}}为A的

4、划分。而且称G为A的最小划分（由集合的全部元素组成），而E为A的最大划分（每个元素构成一个单元素分块）。*划分必是覆盖，覆盖未必是划分5一、集合的覆盖和划分例3设A=1,2,3，试确定A的所有划分。解：有一个划分块的划分是：1,2,3有两个划分块的划分是：1,2,32,1,33,1,2有三个划分块的划分是：1,2,3上图是A的所有划分的示意图。(a)表示有一个划分块的划分1,2,3。(b)、(c)和(d)表示有两个划分块的划分1,2,3、2,1,3

5、和3,1,2。(e)表示有三个划分块的划分1,2,3。*给定一个集合A，它的划分和覆盖都不是唯一的。6一、集合的覆盖和划分例：4个元素的集合A共有多少个不同的划分。解：A的最大(所有元素），最小划分（各元素单列）都各有一个把4个元素分成1，3两部分，有4种可能；把4个元素分成2，2两部分，有3种可能；把4个元素分成1，1，2三部分，有6种可能。故总共有1＋1＋3＋6＋4＝15种。7二、交叉划分P129定义3-9.2若{A1,A2,,Ar}与{B1,B2,,Bs}是同一集合A的两种划分，则其中所有AiB

6、j所组成的集，称为原来两种划分的交叉划分。例P129所有生物定理3-9.1设{A1,A2,,Ar}与{B1,B2,,Bs}是同一集合X上的两种划分，则其交叉划分也是原集合的一种划分。8三、划分的加细定义3-9.3对集合X上的任两种划分{A1,A2,,Ar}与{B1,B2,,Bs}，若对于每一个Aj均有Bk，使得AjBk，则{A1,A2,,,Ar}称为{B1,B2,,Bs}的加细。定理3.9.2任何两种划分的交叉划分，都是原划分的一种加细。证明：设{A1,A2,,Ar}和{B1,B2,,Bs}的交叉划分为T，对T中的任

7、意元素AjBj，必有AjBjAj,AjBjBj故T必是原划分的加细。9本课小结覆盖划分交叉划分划分的加细10作业P130（2）11