离散数学命题符号化

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1、4.蕴含“→”定义1-4由命题P和Q利用“→”组成的复合命题，称为蕴含式复合命题，记作“P→Q”（读作“如果P，则Q”）。当P为真，Q为假时，P→Q为假，否则P→Q为真。PQP→Q001011100111例8将命题“如果我得到这本小说，那么我今夜就读完它。”符号化。解令P：我得到这本小说；Q：我今夜就读完它。于是上述命题可表示为P→Q。例9若P：雪是黑色的；Q：太阳从西边升起；R：太阳从东边升起。则P→Q和P→R所表示的命题都是真的.蘊涵（條件）「如果…就…」的意义：兩個命題P,Q可以用「若P則Q」(ifPthenQ)的蘊涵（implication）方式連接，逻辑符号的表法为P→Q。中文

2、口語上的說法則为「如果P就Q」，意思是如果P是真那麼Q也一定为真。例如：「如果下雨地就是溼的。」「若P則Q」的真偽值表如下：PQP→Q001011100111在這種情形之下，P稱為Q的充分條件。我們注意到「P→Q」為偽只發生在P為真及Q為偽的情況下。PQP∧¬Q000010101110條件否定¬(P→Q)的真值表:于是得到：¬(P→Q)与P∧¬Q等价。換個角度來看，既然下雨地就會溼；那麼如果地是乾的，就一定是沒有下雨。下面的真偽值表可以反應這個關係：PQ¬Q→¬P001011100111「非Q則非P」為「若P則Q」之逆否命題（contrapositive），和「若P則Q」為等價之命題。我

3、們稱Q為P之必要條件。例：算命仙的神機妙算從前，在某市住著一位算命仙。他家門口掛了一個招牌寫著：“神機妙算，一回一千元！如果算得不準，保證退錢”商人們看了，都爭相來算命。第一個來算命的是賣碗的商人。算命仙收了一千元後，假裝唸了一些咒語，說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」商人想到今天會賺錢，就開開心心地離開了。之後又有賣麥芽糖的商人、賣糕餅的商人與賣肉的商人前來算命，算命仙都對他們依樣畫葫蘆，假裝唸了一些咒語，然後說：「啊哈！如果碰到從東方來的人，你就會賺到錢。」當天晚上，賣碗商高興的跑來找算命仙。『真是謝謝您，我真的碰到來自東方的人，結果賺了很多錢，您真是太準了。』算命仙

4、笑著說：「那是當然的，以後歡迎再來算命啊。」當賣碗商回去後，麥芽糖商人氣呼呼地找來了。『根本就不準嘛！我今天遇到從東方來的人，卻一毛錢也沒賺到！』算命仙摸著下巴說：「那就奇怪了，不過既然不準，錢就還給你吧。」當麥芽糖商人回去後，糕餅商人也怒氣衝天的跑進來。『今天我都沒賺到錢，把我的錢還給我！』算命仙停頓了一下，問說：「那麼，是否有碰到來自東方的人呢？」糕餅商搔著頭說：『沒有耶，只碰到來自南方的人。』「那就對啦，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢，可沒說碰到從南方來的人會賺錢啊。」糕餅商聽這話似乎有理，就回去了。最後賣肉的商人也來了。『今天我的確是賺到了錢，但不是碰到來自東方的人，而是來

5、自北方的人。所以你算錯了吧？』算命仙露出一付不可理喻的表情說：「嘿，這位兄弟，我是說你如果碰到從東方來的人就會賺錢，何時說你碰到從北方來的人就不會賺錢啊？我可沒這麼說喔。」賣肉商人覺得有理，點點頭回去了。當所有商人回去後，算命仙露出笑容：「賺錢真是簡單啊！四個人來算命都給一樣的答案，竟然有三個是準確的，足足賺了三千啊。嘻嘻嘻！」故事中的算命仙就是巧妙地運用了這種條件命題而賺到錢的。讓我們來研究一下他是如何辦到的。我們考慮“P=碰上來自東方的人，Q=賺到錢”有四種情形會發生：碰到來自東方的人，而賺到錢。碰到來自東方的人，但沒有賺到錢。沒有碰到來自東方的人，而賺到錢。沒有碰到來自東方的人，也

6、沒賺到錢。然而，算命仙算不準的情形即是「如果p就q」為偽的情形。上面的真偽值表清楚的顯示只有在3的情形之下才會發生。所以，用「如果p就q」的方法幫人家算命，總會有四分之三機率是準確的。因此，即使承諾「如果算不準就退錢」，算命仙仍然可能賺到錢。因為，算不準的機準只有四分之一。小心別上當哦！大人常對小孩說：「如果你乖乖，我就給你糖吃。」不知道有沒有小孩了解，即使不乖，還是可能有糖可吃這件事呢？说明：1、形式蕴涵与实质蕴涵：在数理逻辑中，即使P、Q没有内在联系，P→Q仍有意义。2、蕴涵式P→Q有多种形式：若P，则QP是Q的充分条件Q是P的必要条件仅当Q则PQ每当PP仅当Q3、逆命题，反命题，逆

7、反命题：给定P→Q，则Q→P，¬P→¬Q，¬Q→¬P分别叫做P→Q的逆命题、反命题、逆反命题。则P→Q：若月亮下山,则3+3=6（并没有实质蕴含关系，仍承认）Q→P：叫做P→Q的逆命题┐Q→┐P：叫做P→Q的逆反命题┐P→┐Q：叫做P→Q的反命题例.P：月亮下山Q：3+3=65．等值“↔”定义1-5由命题P和Q，利用“↔”组成的复合命题，称为等值式复合命题，记作“P↔Q”（读作“P当且仅当Q”）。当P和Q的真值相同时,P↔Q取真,否