等直杆的自由扭转

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1、第六章等直杆的自由扭转§6-1自由扭转与约束扭转§6-2等直杆自由扭转时的应力和位移§6-3矩形截面杆的自由扭转§6-4小挠度薄膜比拟法§6-5开口薄壁截面杆的自由扭转§6-6闭口薄壁截面杆的自由扭转§6-1自由扭转与约束扭转v翘曲变形：矩形截面秆在扭转过程中其横截面不再保持为平面．而发生了翘曲。在杆件同一横截面曲周边上各处的剪应变是变化的。横截面发生翘曲以及同一横截面周边上各处剪应变不同，正是所有非圆截而杆受扭时区别于圆截面杆的变形特征。v如图6—2a所示等直杆仅在其两端施加扭转力偶且两个端部没有翘曲变形的任何外加

2、限制，那么可认为每个横截面都发生相同的翘曲变形。只有在这种情况下杆件横截面的翘曲才是自由的，在小变形的条件下它不致引起纵向纤维的伸长或缩短，从而横截面上也就不产生正应力。这类扭转问题称为自由扭转。v非圆截面等直杆如图6—2b所示的受力情况下，由于对称的缘故，其中央的横截面不可能发生翘曲，而两个端截面却可以自由变形，因此各横截面的翘曲必然受到制约，从而导致横截面上产生正应力。非圆截面杆在图6—2c所示的受力情况下，横截面的翘曲同样也受到相互约束。v约束扭转：当非圆截面杆受扭时，如果横截面的翘曲变形由于受到荷载情况、外加

3、约束条件及至横截面尺寸的变化（即变截面杆）而发生相互约束的话，其横截面上必然产生正应力，这类扭转为约束扭转。v在实体杆中约束扭转时产生的正应力是不大的，可以略去；然而对于开口或闭口薄壁杆件却是很重要的。§6-2等直杆自由扭转时的应力和位移v设有一任意形状的实体截面等直杆，其两端受扭转力偶的作用，如图6—3所示。假定杆的左端不能转动，但可以自由翘曲，限制其整体析的刚性位移。当杆受扭矩时，杆件的横截面将绕杆轴z旋转一定的角度，任一距左端为z的横截面所旋转的角度记为Θ(z)。自由扭转时，相距单位长度的任何两个横截面其相对扭

4、角相等，所以Θ(z)=θz（a）v任意横截面上任一点P(x,y)在该平面内的位移分量(u,v)可写作u(x,y,z)(z)sinyzv(x,y,z)(z)cosxzw(x,y,z)(x,y)单位扭转角翘曲位移函数0xyzxy几何方(x)yz程yzyu(y)yzxyx0xyzxy物理GG(x)方yzyz程yGG(y)

5、zxzxx22zxyzzG()022xyzxy平衡方程的结果2220,即022xy则:(x,y)必需是调和函数v用位移函数表示的杆件侧表面上边界条件的表达式为lm0zxyzdydx(y)(x)065xdsydsv为简化用翘曲函数表达的如上边界条件，引入扭转应力函数。,66yzzxxy这样假设是为了满足平衡方程图示边界的l,m与dx,dy,ds的关系杆件端部的边界条件v由(6-6)，(6-3)中的

6、后两式，有G(x)xy67G(y)yx2222G,即2G6822xy等直杆自由扭转时的应力函数必须满足的条件v应力函数应该满足的边界条件(x,y)

7、k,(69)常取0，周边sM2dA（6－10）端部的条件tA选出同时满足6－8，6－9，6－10的应力函数v对于椭圆形截面等直杆的自由扭转问题（图6-7,a），可选如下形式的应力函数22xyC(1)22abv当C为常量时，此函数恒能满足侧表面的边界条件（6-9），将其代

8、入（6-8）,求得22abCG22abM2dAtA222ab1212G(xdAydAdA)a2b2a2Ab2AA2G2222(bIaIabA)22yxab3Iab33xab4G22ab3Iabya2b24或：GMa3b3tAabv应力函数为22Mxytx,y122ababv剪应力分量的计算公式2MMttxxyz3xab2Iy2MMttxyzx3yab2Ix§6-3矩形截

9、面杆的自由扭转§6-4小挠度薄膜比拟法oqxTTdxzoTxadTTdybcTy薄膜无抗弯、抗剪能力，薄膜内将产生均匀、双向、等值的应立场图610普朗都指出：薄膜在均匀压力下的垂度，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上是相似的。假定薄膜不承受弯矩、扭矩、剪力和压力，而只承受均匀的拉力T。Fz0zzzTdyTdyz