MPA数学历年真题

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1、2002年MPA数学一、选择题（每小题2分）1、假设甲、乙两国关于拥有洲际导弹数量的关系曲线y=f(x)和x=g(y)的意义是：当甲国拥有导弹x枚时，乙国至少需储备导弹y=f(x)枚才有安全感；当乙国拥有导弹y枚时，甲国至少需储备导弹x=g(y)yx=g(y)枚才有安全感。如附图所示，双方均有安全感的区域是（）。IIIA、I和IIIB、IIIy=f(x)C、IIIVD、II和IVIII解答：由题意知当甲国拥有导弹x枚时，乙国至少需储备导弹y=f(x)枚才有安全感，得到区域I和II；当乙国拥有导弹yx枚时，

2、甲国至少需储备导弹x=g(y)枚才有安全感，得到区域II和IV，公共部分是II，选C。2、如下图所示，当x∈(a,b)时，有f′(x)≥0，f′′(x)<0，则f(x)的图形只可能是（）。yyxxababAByyxxababDC答案：f′(x)≥0说明函数单调递增，f′′(x)<0说明函数是凸的，因此选B。223、设f′(x)在[1,2]上可积，且f(1)=1，f(2)=1，∫fx()=−1，则∫xfxdx'()=()。11A、2B、1C、0D、－1答案：用分部积分法，然后代入即可222x=2xfxdxx

3、dfxxfx'()==−()()

4、fxdx()∫∫11x=1∫1，选A。2=−−2(2)(1)fff∫()xdx=21二、填空题（每小题2分）1、已知函数ϕ()x满足limxxϕ()=3，则limϕ()n=。x→∞n→+∞1ϕ()x答案：因为limxxϕ()=lim=3，分母极限是0，可知分子极限一定为零，否则xx→∞→∞1/xlimxxϕ()=∞，因此lim()ϕx=0，故limϕ()n=0。x→∞x→∞n→+∞ffx(1)−(1−)2、设f(x)可导，且满足条件lim=−1，则曲线y=f(x)在x0=

5、1处的切线斜率x→∞2x是。ffx(1)−−(1)答案：因为lim=−1，根据导数定义，x→∞2x11ffxffx(1)−−(1)(1)−−(1)f'(1)==limlim=−1，f'(1)=−2，然后根据切线斜221xx→∞−−(1xx)→∞2率的定义知，切线斜率是−2。23、已知随机变量X服从正态分布，其数学期望为2，方差为4，那么EX=。222答案：因为EX=2，DX=4，根据公式DX=EX－(EX)，可以算出，EX=8三、计算题（1、2题每题3分，3、4、5题每题4分）⎧1

6、

7、1，x≤1、若函数f

8、x()=⎨，求函数gx()=ffx(())及其定义域。⎩0

9、

10、1，x>⎧1

11、()

12、1，fx≤⎧1

13、

14、1，x≤解：gx()==ffx(())⎨，而已知fx()=⎨，也就是说f()x的取⎩0

15、()

16、1，fx>⎩0

17、

18、1，x>值只有0和1，说明

19、(fx)

20、1≤，故gx()1=，其定义域是实数集。y∂zz∂2、设zx=yf()，f()x可导，求x+y。x∂x∂y∂∂zyyyzyy1解：=+−=+yf[()xf'()()]，xf[()yf'()]，2∂∂xxxxyxxx∂∂zzy于是x+=yx2()2yf=z。∂∂

21、xyx23、已知函数f()x在x=1处有极值－2，f(0)=0，且f'()x=3x++2axb，试求ab、及所有极值点，并指出是极大还是极小值点。2232解：因为f'()x=++3x2axb，所以f()x=∫(3x++=+++2axbdx)xaxbxC，⎧fC(0)==0⎪因为已知f(0)=0，f()x在x=1处有极值－2，得到⎨fa(1)=1+++=−bC2⎪⎩fa'(1)=++=32b032解方程组得abC==03,−=,0，因此f()xx=−3x，fx'()=3x−3，22令fx'()=−=3x30

22、，得到xx==11，−，又f''()xx=6，因为f''(1)−=−<60，所以当x=−1时，取得极大值f(1)2−=，因为f''(1)=>60，所以当x=1时，取得极小值f(1)=−2。2xx−x4、设f()x为连续函数，且满足∫ftxdt()−=−+e−1，求f()x。02x解：在积分∫f()txd−t中，令txu−=，显然当t=0,时u=−x，当txu==时,0，02x00x−x∫∫f()t−=xdtfudu()，即∫fudu()=−+−e1，两边关于x求导0−x−x2−xxf()−=−−xxe，显

23、然得到f()xxe=−。5、某逻辑试卷全为选择题，每题所列的五个备选项中只有一项是正确的，对每个题目，若考生知道答案，则选择正确的备选项；若不知道答案，则从中随机选择一个备选项，如果某考生知道试卷中70%的题目的答案，（a）求对指定的一题，该生答对的概率？（b）已知该生答对了一题，求此题答案是他随机选择的概率。解：设事件A表示考生知道该题答案，B表示考生答对该题的概率。因为考生知道试卷中70%的题目的答案，所以PA()==0.