L-R Smash双积的积分和类群元

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1、数学杂志Vo1．34(2014)J．ofMath．(PRC)NO．3L．RSmash双积的积分和类群元于云霞，刘红江。(1．新乡学院数学系，河南新乡453000)(2．河南化工职业学院公共课教学部，河南郑州450042)摘要：本文研究了LRSmash双积D6日．利用D，Ⅳ的积分和类群元，构造了L—RSmash双积Db日的积分和类群元，并讨论了L—RSmash双积Dj日和D，目的积分和类群元之间的关系．推广了文献f31中的结论．关键词：L—RSmash双积；积分；类群元MR(20101主题分类号：1

2、6T05；16S40中图分类号：O153．3文献标识码：A文章编号：0255．7797(2014)03—0577-061引言Panaite和VanOystaeyen在文献f11中给出了L—RSmash积和L—RSmash余积的概念，随后在文献f21中又给出了L—RSmash积和L—RSmash余积构成L—RSmash双积的充分条件，并且讨论了L—RSmash双积的辫子结构．而P~dford在文献[3]中讨论了普通Smash双积的积分和类群元．本文推广了文献(3】中的结论并给出了L—RSmash双积

3、Di日的积分和类群元的一些性质．为了方便起见，首先给出一些相关概念．本文均采用Sweedler记号．尼表示一个域，代数、余代数、张量积都是域上的．设是余代数，对于C∈C，记a(c)=∑cloc2．在下文中我们均省略和式符号∑．定义1．1[]设日是一个双代数，(A，一，一)是一个日一双模代数，在张量空间o日上定义乘法：(a⑧)(6g)：(a—g2)(hl—b)h2gl，Va，b∈A，h，g∈日关于此乘法和以11日为单位元构成的结合代数，称为L—RSmash积，记作i日．定义1．2[】设日是一个双代数

4、，是一个日一双余模余代数，在张量空问CoH上定义余乘：a(c)=(c。>c~-1)h1)(c’h2c>)．关于此余乘和以c(ch)=eC(C)eH(h)为余单位构成的余结合余代数，称为L—RSmash余积，记作日．收稿日期：201207-13接收日期：2012．11-26基金项目：河南省教育厅基础研究项目f072300410050)．作者简介：于云霞(1980一)，女，河南许昌，讲师，研究方向：Hopf代数、量子群等578数学杂志Vo1．34定义1．3[。]设日是一个双代数，D是一个日一双余模余代

5、数和日一双模代数，在张量空问DH上定义L—RSmash积和L—RSmash余积，记作D[H．如果满足下列条件：eD(1D)=l，eD(Cd)=￡D(c)ED(d)，CD(h·d)：CD(d·h)=eD(d)eH(h)，p(1D)=1D1H，入(1D)=1H1D，Z~D(1D)=1D10，p(cd)=c(。)d(。c()d(¨，(cd1：c(一)d(一)c(。)d(。)，AD(h·d)=hi·dloh2·d2，AD(d·h)=dl·hid2·h2，AD(cd)=c(c!．d(0))(c．)d，(h1

6、．d)一)2(h1，d)(。)=hi(一)h2·d(。)(h．d)(。)(h．d)‘)=h．d(。)d(¨，(d．h2)I。)h1(d．h2)()：d(。)．h1d()2，(d．)(一(d．)‘。)=d(一d(。)_h，(。)．d(～)c()．d(。)=Cdc．那么D6日构成一个双代数，称为L—RSmash双积2L．RSmash双积的积分和类群元这一节主要给出了L—RSmash双积D6日作为双代数的一些简单性质，构造了L—RSmash双积的积分和类群元．定理2．1设日是余交换的，双代数D5H是交换

7、的当且仅当双代数D和双代数日是交换的且对任意的h∈H，d∈D，h·d=d·h．证先证充分性．由己知日是余交换的，可得A(h)=h1h2=h2h1．由已知JD和日是交换的，可得dd=dd，hh=hh．(di)(d4)=(d．h2)(()1．d)4()h1(d．hi)(()．d)i()1h2=(()2．d)(d．hi)62()1(d．()2)(1．d)5^2()1=(d4)(d4)．所以D6日是交换的．下证必要性．如果D4H是交换的，则对任意d0，d0∈D9H，(dbh)(d0)：(d9)(d5)即(

8、d．h2)(()．d)i()2h=(d．()2)(．d)Oh2()1．(2．1)对(2．1)式令d=d=1D，则=^h，即H是交换的对(2．1)式令h==1H，则dd=dd，即D是交换的No．3于云霞等：L—RSmash双积的积分和类群元579对(2．1)式令d=1D，h=1日，则h2·d41=d·hi5h2(2．2)对(2．2)式两边同时用ido￡作用得h·d=d·h．定理2．2设H是交换的，双代数日是余交换的当且仅当双代数D和双代数日是余交换的，且对任意的d∈D，d(。)d(一