一 题 多 解 —— 思 维 的 火花

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1、一题多解——思维的火花题目：如图，∠C=90°的Rt△ABC外切于半径为1的圆O，求△ABC周长的最小值。ABCEFGO解法一（代数法）：如图，设三切点分别为E、F、G，且设BF=BG=，AG=AE=，矩形OECF是边长为1的正方形。由AC2+BC2=AB2得：，即又≥≥≥0即≥2≤（舍）或≥≥△ABC的周长为：≥≥当且仅当时（即△ABC是等腰直角三角形时），△ABC周长最小，最小周长为。[点评]此解法主要运用“均值不等式”求最小值。引申：∠C=90°的Rt△ABC外切于半径为1的圆O，求△ABC

2、面积的最小值。解法二（三角法）：设∠OAG=，∠OBG=，∵2+2=90°∴+=45°由得：。∴∵OG=1，∴AG=AE=，BG=BF=。而CE=CF=1∴△ABC周长为：2（AG+BG+1）====由≤得：≤∴≤∴≤又1∴0＜1≤∴△ABC周长为≥故△ABC周长的最小值为（当且仅当，即△ABC为等腰直角三角形时，周长最小）。[点评]本解法关键在于：将△ABC的周长与关系式产生联系，利用“三角函数”，结合“均值不等式”来求解。解法三（函数法）：设∠OAG=，则∠OBG=45°－，（0°＜＜45°)

3、AG=，BG=∴△ABC的周长为：令且（0＜＜1)则≤又＞0∴△ABC的周长为≥当且仅当，即，0＜＜1即时△ABC周长最小。故△ABC周长的最小值为。[点评]此解法是将问题转化成求“”型函数的值域问题。解法四（利用一元二次方程根的分布）：由解法三，得△ABC的周长为，设△ABC周长为，且令，则：即……①依题可知：上述关于的一元二次方程在（0，1）上至少有一个实数根，∴△=≥0，解得：≥。当时，关于的方程①的两根为：、，且==，符合题意，故△ABC周长的最小值为[点评]此解法是由将问题转化成关于的一

4、元二次方程的根的问题来讨论，但本题解法并未完全按照一元二次方程根的分布情况来讨论，而是根据方程①有解的条件：△≥0得≥，然后将=代入方程①中来检验方程根的分布情况，从而简化了解题中的讨论过程。解法五（导数法）：由解法四得△ABC的周长为：，其中。求导得′令′=0得：∵∴，当时，′=＜0当时，′=＞0故在上递减，在上递增，∴当时：即△ABC周长的最小值为[点评]使用新教材后，利用“导数”求函数的值域是一种重要且常用的方法。通过对上面一道数学题目的五种不同的解法，我们应该有所感悟：某些数学问题既可以这

5、样解，也可以那样解，不同的解法体现的是解题者思维上的差异，而实施“一题多解”的前提是：需要积累一定的数学知识，善于将零碎的知识进行横向与纵向的联系，并在平时的实践中不断地总结“一题多解”的规律。我们在平时的数学学习中，若能贯穿“一题多解”的思想并进行有效地实践，则我们的解题能力一定能得到较大的提高，从而逐步实现“思维的升华”，并最终迸出思维的火花。