高中不等式证明

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1、高等数学中不等式的证明方法张昊(南京邮电大学吴江职业技术学院基础课部，江苏吴江215200)摘要：不等式的证明在高等数学通用教材中较多．本文就不等式的证明归纳出了一些方法和基本思路关键词：高等教学不等式证明基本方法不等式证明是高等数学中的常见问题．在各类考试中经常出现。证明不等式没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强，因此不等式证明题历来是学生最感到困惑的问题之一。但它也有一些基本的常用方法。我们要熟练掌握不等式的证明技巧．就必须了解这些基本方法。1．利用微分中值公式证明不等式中值定理特别是拉格朗日中值定理和柯西中值定理在不等式的证明中

2、有着重要作用，通过对不等式结构的分析，构造某特定区间上的函数，满足定理的条件，达到证明的目的。其基本思想是：(1)根据题目给定的不等式，选取一个适当的辅助函数f(x)和区问[a，b]；(2)当函数f(x)在区间[a，b]上满足中值定理的条件，利用中值公式；(3)利用得到的公式结合题设条件，对写出的公式进行适当的变化．得到所证不等式。复数z=x+iv甘坐标平面上的点p(x，Y)。这样学生会将复数z、R中的有序实数对(X，Y)、坐标平面上的点P(X，Y)视为同义语，把复数集、平面点集、二维空间R‘的子集看成一回事。由z一(x，v)，复变函数f(z)可

3、看成关于x和Y的函数，其极限定义可与实二元函数的极限定义比较。而实二元函数又是在多元微分学中讲过，学生较为熟悉，这样进行比较，可加深学生对复变函数极限念的进一步认识和理解。通过比较，可以发现复变函数的极限定义与实二元函数极限定义相似成分较之实一元函数要多一些．似乎完全相似，不同的地方主要是一个复变函数确定两个实二元函数，复变函数的极限存在与否取决于两个实二元函数极限的存在与否。两个实二元函数的极限都存在才称复变函数的极限存在。2．导数概念的类比在微分学中，对一元函数的导数是这样定义的：设函数Y=f(x)在点xn的某一邻域内有定义(包括X点)，当自

4、变量x在X处有增量△x时，相应的．函数有增量，Ay=fix+Ax)一f(x)，当△x—ou~，比值的极限lim●：!J存在，称此极限为函数v：fAxAx(x)在x处的导数，记为f(xn)。复变函数的导数定义为：设函数w=f(z)在区域D内有定义，给自变量Z∈D以增量Az=Ax+iAy，相应的，函数有增量Aw=f(z+Az)一f(z)，如果当△z以任何方式趋近于零时，比值的极限li!!n十!lIJ存在，称此极限为函Ax—AX数f(z)在点z的导数，记为f(z)。在讲解时，注意新旧知识的对比，这样，既复习了旧知识，又为顺利接受新知识打开了大门。(二)

5、激发学生的学习兴趣，充分调动学生的学习积极性把一些抽象的概念形象化，举出实例来刺激学生的学习兴趣。例如：单连域、多连域的概念：一个区域B，如果在其中任作一条简单闭曲线，而曲线的内部总属于B，就称为单连域。一个区域如果不是单连域就称为多连域。为了帮助学生理解这两个抽象的概念．可以举一个这样的例子：单连域好比一张完整无缺的报纸．而多连域则好比是这张报纸被剪了若十个洞。这样，学生会很轻松地理解这两个概念。在课堂教学中教师可结合所授内容特点介绍一些数学史。数学理论的演变过程是一个让人很感兴趣的历史，从中可以再现数学大师们的思考问题的方式，看到他们是如何探

6、索真理的，从而启发学生怎样去思考问题。(三)培养学生自学的能力《复变函数》作为《数学分析》在复数域的延拓，在知识结构、理论体系、研究方法等方面，二者都紧密相关。学生经过《数学分析》的完整学习，方nJ具备相当扎实的函数论知识，并具备一定的自学能力。因此，依据自主探索学习的基本理论，结合目前的教学现状．在复变函数教学中教师可适合安排一定的教学内容让学生进行自主探索学习，以便收到更好的教学效果．同时也便于不断提高学生自主探究、自我建构知识的能力。例如，“复数”这节的内容大部分学生在中学阶段都学过，“复平面上的点集”的内容与数学分析中平面点集的内容几乎是

7、一样的，再讲这些内容，既浪费时间．学生听起来也不会感兴趣。如果让学生自学，然后教师提出一些问题让学生去讨论，去思考，他们会更集中精力去钻研，从而收到更好的学习效果．并不断地提高自学能力。在课堂上我们应坚持“教师是主导，学生是主体”的教学原则，让学生在教师帮助下逐渐消化、理解知识，引导学生对所学知识进行概括与总结，培养学生驾驭知识的能力，让学生将知识不断地经过自己头脑的分析、综合变成自己可以运用自如的知识体系。教师可以利用章节的小结、习题课等形式训练学生对同一问题从不同的路径和方向去思考，多角度多方向去观察，尽量探索出多种解法，让学生变“被动学习”

8、为“主动学习”．从而掌握学习的主动性．并逐步培养学生一定的自学能力和提出问题、分析问题、解决问题的综合能力。三、努力提高教学质量复变函数