泰勒公式及应用

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1、泰勒公式及其应用本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。泰勒公式是数学分析中的重要知识，在某些题目中运用泰勒公式会达到快速解题的目的。本文主要从六个方面对泰勒公式进行综合论述利用泰勒公式求极限、证明中值公式、证明不等式、估计、在方程中的应用、在近似计算的的应用。关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项泰勒级数一、泰勒公式及其余项1：泰勒公式对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个次多项式，称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式,的各项系数称为泰勒系数。2：泰勒余项定理1

2、：若函数在点存在直到阶导数，则有；即其中称为泰勒公式的余项。形如的余项称为佩亚诺型余项。特殊的当时;称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。定理2：（泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点(a,b)使得其中,,称为拉格朗日型余项。特殊的当时;称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林(Maclaurin)公式。一、泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限例1，求极限解：因而求得例2，设函数在上二次连续可微，如果存在，且在上有界，求证：证：要证明，即要证明:,

3、当x>时,利用泰勒公式,,即⑴记因有界，所以,使得故由⑴知⑵,首先可取.充分小，使得,然后将固定.因,所以,当时从而由⑵式即得例3，设⑴在内是阶连续可微函数，此外⑵当时,有，但是；⑶当时,有①其中证明：证：我们要设法从①式中解出.为此,我们将①式左边的及右端的在处展开.注意条件⑵,知使得.,于是⑴式变成从而因利用的连续性,由此可得1、证明中值公式例4，设在上三次可导,试证:使得⑴证：（待定常数法）.设为使下式成立的实数⑵这时，我们的问题归为证明:使得⑶令⑷则根据罗尔定理,,使得,由⑷式,即:⑸这是关于的方程，注意到在点处

4、的泰勒公式:⑹其中，比较⑸，⑹可得式⑶证毕。1、证明不等式例5，设有二阶导数,试证证：二式相加，并除以,有令取极限得：2、估计例6，若在上有二阶导数,,试证:,使得⑴证：应用泰勒公式，将分别在点展开，注意,使得⑵⑶(3)-(2)得,故例7，设在上有二阶导数,时,试证：当时,证：所以1、方程中的应用例8，设在内有连续三阶导数，且满足方程⑴试证：是一次或二次函数证：问题在于证明:，为此将（1）式对求导，注意与无关.我们有:(2)从而,令取极限，得若,由此为一次函数;若,(2)式给出此式两端同时对求导，减去;除以,然后令取极限

5、,即得;为二次函数1、在近似计算上的应用例9，计算的值，使其误差不超过.解：,由,得到有:故,当时,便有从而略去而求得的近似值为