量子力学辅导刚要3

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1、《量子力学》辅导纲要（3）第九章散射主要内容：1．为推导李普曼－许温革方程，必要的数学准备是复函中的留数定理。2．通过与经典散射过程及散射截面的比较，找出量子散射的根本特征。例如，低能钢球散射，经典截面是，而量子散射截面是球面，即。3．能够自已推导李普曼－许温革方程及分波法相移，如此才能深刻地理解这两个方法的用法及适用条件。进一步通过典型例题，学会解题方法。4．应理解到，这两种方法都是近似方法，都有其适用条件，应根据不同物理条件，使用不同方法。要点：1.量子散射和经典散射的本质差别，这可由低能散射更清楚的看出；2．李普曼-许温格方程的推导及意义，

2、玻恩近似；3．分波法的计算步骤。重点掌握：1．几个概念。入射粒子流强度;微分散射截面;总散射截面；弹性散射；非弹性散射。散射振幅。2．李普曼-许温格方程相对运动的定态薛定谔将坐标原点选在A与B的质心处，质心看作是相对静止的。在质心坐标系中，相对运动的定态薛定谔方程为（1）其中，为相对坐标，为折合质量，势场，是中心力场，，。散射波的渐进行为。时，。方程（1）的球面波解是29（2）其中，称为散射振幅。方程（1）的渐进解应有如下形式（或说是解的边界条件）：（3）微分散射截面（4）在边界条件（3）下，求解（1）的Green函数满足如下方程（5）（6）（7

3、）此即李普曼-许温格方程。3．玻恩近似（7）可用迭代法逐级求解。将（7）右边用零级近似代替（8）可得一级散射波函数，称为一级玻恩近似，这里是方向基矢，是入射粒子的动量，沿方向。再逐步迭代，可得高级近似。（9）29（10）玻恩近似成立的条件（11）时，玻恩近似能够是一个好的近似。具体分析如下：（1）如果入射粒子能量很低，，设的力程，大小，（11）化为或（12）（2）的力程很小。这时或；（13）（3）入射粒子能量足够高。这时被积函数由于相因子的快速振荡而相消，积分值将变得很小。这样，如果玻恩近似在低能区成立，则在高能区也成立，但反过来，却不一定。4．

4、分波法分波法是处理散射问题的一个严格方法。但由于实际上不可能计算全部分波，所以也是一种近似方法。这种方法适合于低能散射。设势场都是中心力场。相移和散射截面假设散射势场是中心势场。这样，散射是绕轴对称的，与角无关。相应的薛定锷方程和渐进条件分别是，，（14）29(15)由于角动量守恒，平面波分解中的各个不同的分波将各自独立散射，每一个分波都满足（14）和渐进条件(15)。即(16)式中，为化简(16)，设，(16)变为(17)散射振幅决定于方程(17)的解。为与渐进条件(15比较，考虑(17)的渐进解。，由的有限性可知，应有；(18)时，(17)变

5、为(19)由此得到(20)将(17)求出解后，确定其渐进形式并与(20)比较，就确定了重要的位相。将这样确定的29代入到以下两个公式，就求得了微分散射截面和总散射截面。(21)(22)这样通过将平面波分解为不同角动量的球面分波，从而求得微分散射截面的方法称为分波法。讨论A.由以上推导可看出，入射波中的第个分波经散射势场作用后，产生相移，由原来的变成为。由方程解在时的渐进形式确定。B.显然时，。设无散射的第个分波的一个确定位相位为时，。相应的散射波中第个分波的这个位相为时，如果，则，说明是吸引势，即；如果，则，说明是排斥势，即。分波法的适用条件。分

6、波法适于低能或作用半径很小的势场。5．光学定理总截面正比于弹性散射部分向前散射振幅的虚部，即(23)这是一个普适规律。其物理解释是，总散射截面是入射波减弱的量度。而这种减弱是入射波和向前散射波(二者同方向)相消干涉结果。向前散射波振幅越大，消掉的入射波振幅也越大，入射波剩余振幅就越小，因而被散射部分（包括非弹散射和吸收截面）就越大。6．全同粒子的散射29质心系中两个自旋为零全同粒子的散射，其入射波和散射波都应是粒子交换的对称态函数。其入射波相对运动态函数是(24)其散射波相对运动态函数是(25)这里考虑到了交换时，相当于。因此（26）质心系中两个

7、自旋为全同粒子的散射，其入射波和散射波都应是粒子交换的反对称态函数。当总自旋为零时，自旋波函数是粒子交换的反对称波函数，因此空间波函数必须是对称的。这样，（27）当总自旋为1时，自旋波函数是粒子交换的对称波函数，因此空间波函数必须是反对称的。这样（28）如果两个粒子都未极化，自旋完全无规分布，则体系有概率处于单态，有概率处于单态态。这样，29（29）容易看出，质心系中全同粒子散射截面对于是对称的。量子力学总复习（以下习题务必独立认真作出！）一基本概念及简答1．简述的物理意义及其实验基础。解：的物理意义是时刻在处发现粒子的几率，实验基础是戴维逊-戈

8、末电子的衍射实验。2．简述迭加原理。若，，的物理意义是什么？解：如果，是体系的可能状态，那么它们的线性迭加（是复数）也是这个体系的一个可