令人惊奇的发现

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1、令人惊奇的发现——几个有趣的几何结论数学世界是令人惊奇的世界,几何世界更是常让人拍案叫绝。前面我们已经见到一些几何中令人惊奇的结论,如三角形的外心、重心、垂心共线;三角形中的九个点共圆;四心共线;八点圆等等。下面再举出一些例子,与读者共同欣赏。法国皇帝拿破伦一世(1769年~1821年)在历史上不仅是一位杰出的军事家和政治家,而且还是一位业余数学爱好者。据说,他在统治法国之前,曾与著名数学家拉普拉斯、拉格朗日等人一起研究和讨论过数学问题,甚至还在巴黎科学院报告过他所发现的一个有趣的定理。他在数学上的高深造诣和独到见解,使拉普拉斯和拉格朗日也感到十分

2、吃惊!拿破伦所描述的定理如下:在已知三角形ABC的三边上,向外作出三个等边三角形,分别记为△A’BC,△B’CA,△C’AB。它们的中心为X、Y、Z,于是△XYZ是一个等边三角形。拿破伦对这个定理的证明既简单又优美。他把X、Y、Z与离它们较近的△ABC的顶点连结起来,然后以Y、Z为旋转中心,把所得的二个三角形△XYC和△XZB旋转上去,直至YC与YA重合,ZB与ZA重合,这时,C与A重合,B也与A重合,X与X重合。所得的新三角形XYZ与原来的三角形XYZ是一样的,但它的每个内角都不难算出等于60°,所以△XYZ是等边三角形。后人称这个三角形为拿破伦

3、三角形。读者可以考虑:如果三边上的等边三角形不是向外作,而是向内作,这时以三个中心为顶点的三角形还是等边三角形吗?读者还可以考虑拿破伦三角形有些什么有趣的性质。早在公元二世纪时,希腊天文学家托勒密就发现:圆内接四边形中,两条对角线长度的积等于它的两组对边乘积的和!这个定理被称为托勒密定理,托勒密当年曾利用这个定理解决了不少天文学上的计算。无独有偶,著名数学家、物理学家牛顿爵士却对圆外切四边形有非常有趣的发现。他注意到如果任意作圆的外切四边形,那么这个圆的圆心将永远落在四边形两条对角线中点的连线上。你说奇怪不奇怪!我们可以随意画出两个大小不等的外离的

4、圆,从每个圆的圆心向另外一个圆作两条切线。如果把不是切点的交点连结起来,得到的一个四边形竟然是矩形!对它的证明并不难。这真有点意外,不知道是谁最先发现了这件奇事。著名的阿基米德不仅善用杠杆,还发现了浮力定律,还发现了这样一个事实:在一个大的半圆中有两个互切的内切半圆,于是在大的半圆内形成一个由圆弧围成的曲边三角形(如图)。同时这两个内切半圆的公切线把这个曲边三角形分隔成两部分,这两部分的内切圆竟然是同样大小的!因为这个曲边三角形很像当时皮匠用来切削皮料的刀子,所以阿基米德把这个定理叫做《皮匠刀定理》。日本数学家的发现更加神奇。在日本的神庙里的塔壁上

5、常会供上一些木牌,这是数学家们把自己的发现贡献给神的一种方式。公元1800年左右的一块木牌上记录着这样的事实:在圆内接多边形中,如果从某个顶点向其它顶点作对角线,那么多边形将被分成若干个三角形。接着在每个三角形内都作出它的内切圆,那么这些内切圆半径的和居然是一个常数,与顶点的选择无关!人们进一步还发现,即使从好几个顶点同时作出对角线,只要多边形也是被分割成若干个三角形的话,那么上述结论仍然能成立。近年来,莫斯科数学家发现一个几何定理:有两条平行线,如果以平行线的距离作为正方形的边长,那么当这个正方形任意放在平行线上时,正方形的四边与平行线能产生四个

6、交点,交叉连结这些交点,每次都会形成一个45°的夹角。你能证明一下这个结论吗?几何世界中,能令人惊奇的事情不胜枚举,有些已经被人们发现,有些仍有待于人们去发现。亲爱的读者,只要做一个有心人,你也可以发现令人惊奇的结果。【附录】一、【托勒密简介】托勒密(公元85年~165年)古希腊著名的数学家、天文学家,是希腊天文学和三角术的集大成者。生于贵族家庭,长期居住在亚历山大城并卒于此地。托勒密聪明好学,博览群书,尤善三角学、天文学等,约于公元150年著书《大综合论》。该书共13卷,第一卷主要介绍了三角学方面的内容,第四卷介绍了测量学方面的内容,其他各卷均是

7、天文学方面的内容。该书除托勒密自己的成就外,还吸收了古希腊著名数学家阿基米德、希帕霍斯、门纳劳斯等人的成就。是他传世的几部著作中最著名的,成为传世名著。托勒密用内插法求得圆周率π=3.14167,处于当时世界的领先地位。托勒密是最早对欧几里得《几何原本》中的第五公设表示怀疑的人,并给出了证明,其证明虽然被后人指出有误,但对非欧几何有很大的影响。由于托勒密在三角学方面的卓越成就,被数学界公认为是三角学的主要奠基人。二、【牛顿简介】依萨克·牛顿(1642年~1727年)英国物理学家、数学家、天文学家,英国皇家学会会长。1642年12月25日生于英格兰林

8、荷尔泽普地区林肯郡的一个村庄里,父亲是农场主,在牛顿出生前三个月去世。由于母亲改嫁,牛顿由外祖母抚养。舅舅威廉·艾司考夫牧

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