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1、教案用多项式逼近连续函数复旦大学陈纪修金路教学内容介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。指导思想用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。教学安排先给出多项式一致逼近连续函数的定义：定义10.5.1设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，如果存在多项式序列｛Pn(x)｝在[a,b]上一致
2、收敛于f(x)，则称f(x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。应用分析语言，“f(x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得｜P(x)-f(x)｜＜ε对一切x∈[a,b]成立。这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理)设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使｜P(x)-f(x)｜＜ε对一切x∈[a,b]成立。证不失一般性，我们设[a,b]为[0,1]。设X是
3、[0,1]上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射Bn:X→Ynkkkn−kf(t)SBn(f,x)=∑f()Cnx(1−x)，k=0n这里Bn(f,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：(1)Bn是线性映射，即对于任意f,g∈X及α,β∈R，成立Bn(αf+βg,x)=αBn(f,x)+βBn(g,x)；(2)Bn具有单调性，即对于任意f,g∈X，若f(t)≥g(t)（t∈[a,b]）成立，则Bn(f,x
4、)≥Bn(g,x)对一切x∈[a,b]成立；nkkn−kn(3)Bn(1,x)=∑Cnx(1−x)=[x+(1-x)]=1；k=0nnkkkn−kk−1k−1n−kBn(t,x)=∑Cnx(1−x)=x∑Cn−1x(1−x)k=0nk=1n=x[x+(1-x)]=x；nk2n2kkn−kkk−1kn−kBn(t,x)=∑2Cnx(1−x)=∑Cn−1x(1−x)k=0nk=1nnnk−1k−1kn−k1k−1kn−k=∑Cn−1x(1−x)+∑Cn−1x(1−x)k=2nk=1nnnn−12k−2k−2n−kxk−1k−1n−k=x∑Cn−2x(1−
5、x)+∑Cn−1x(1−x)nk=2nk=12n−12x2x−x=x+=x+。nnn2综合上述三式，考虑函数(t-s)在Bn映射下的像，注意s在这里被视为常数，我们得到222Bn((t-s),x)=Bn(t,x)-2sBn(t,x)+sBn(1,x)222x−x2x−x2=x+-2sx+s=+(x-s)。nn现在我们来证明定理。由于函数f在[0,1]连续，所以必定有界，即存在M＞0，对于一切t∈[0,1]，成立｜f(t)｜≤M；而根据Cantor定理，f在[0,1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0，对一切t,s∈[0,1]，当｜t-s｜＜
6、δ时，成立ε｜f(t)-f(s)｜＜;2当｜t-s｜≥δ时，成立2M2｜f(t)-f(s)｜≤2M≤(t-s)。2δ也就是说，对一切t,s∈[0,1],成立ε2M2ε2M2--(t-s)≤f(t)-f(s)≤+(t-s)。222δ2δ考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn作用下的像(关于x的多项式)，注意f(s)在这里被视为常数，即Bn(f(s),x)=f(s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x,s∈[0,1]，成立22ε2Mx−x2ε2Mx−x2--[+(x-s)]≤Bn(f,x)-f(s)≤+[+(x-s)
7、]，222δn2δn1令s=x，且注意x(1-x)≤,即得4n⎛k⎞kkn−kεM∑f⎜⎟Cnx(1−x)−f(x)≤+2。k=0⎝n⎠22nδM取N=[]，当n＞N时,2δεn⎛k⎞kkn−k∑f⎜⎟Cnx(1−x)−f(x)＜εk=0⎝n⎠对一切x∈[0,1]成立。证毕定理10.5.1还可以表述为：设f在[a,b]连续，则它的Bernstein多项式序列｛Bn(f,x)｝在[a,b]上一致收敛于f。注意点（1）学生容易误认为：只要将f(x)在[a,b]上展开成幂级数∞nf(x)=∑an(x−x0),x∈[a,b]，n=0然后令其部分和函数（多项式
8、）nkSn(x)=∑ak(x−x0)，k=0则f(x)在[a,b]上就可以由多项式序列｛Sn(x)｝一致逼近
