反向思考的几种数学方法

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1、#$中等数学!命题与解题!反向思考的几种数学方法崔金兴（山东省安丘市北关中学，!"!#$$）对立统一规律是辩证唯物主义的根本规$%$!&$%，$%$.’律，反向思考就是从对立中认识事物的一种设"*（$(%）!+$!+%!!思维方式’#!+#!!+!!*/!$%(/!$%(⋯在数学竞赛中，反向思考的重要性尤为!+#!+#，(/!$%突出，反证法、分析法都是重要的基本方法’则"#!+#!!!+!!*/!$%(/!$%(⋯另外，倒放法、倒推法、淘汰法也均来源于反!+#!+#向思考，有时起着不可替代的作用’(/!$%，#（$%!+#!+#

2、!倒放法!"!*/!($%）!（$!!+!!+!!）(⋯将问题中式子的顺序“倒”过来放置’(/!%($%例!设!#"’证明：#!$$#!$$#!+#（$!+#!+#）(!((/!%($%!$$#!$$#不能被!(!整除’)(⋯(!!（/#!⋯(/!+#）$!&（$%）!(/!(!证明：设"!$$#!$$#!$$#，!*#(!(⋯(!$!!(#（!!+!）’则"!$$#!$$#!$$#〕!*〔!(（!+#）(⋯(!!（!!0"!$!+!），!$$#，(#即（$(%）!!!!!!(#+$+%$!+!’!$$#!$$#）(〔)!$$#!

3、"!*!(（!(!(（!+#倒推!$$#〕(⋯(（!!$$#!$$#）’#）(!将问题发生的顺序倒过来进行推理，逐当##"，#$!时，步还原’!$$#!$$#能被#(（!(!+#(（!(!+#）例$设有!个球，甲乙二人做轮流取#）整除，即能被!(!整除’球游戏，每人一次，可随意取#个或!个，但故当!$!时，!"被!(!除的余数为!不准不拿，谁取得最后一个谁败’规定甲先!，即"!不能被!(!整除’取，甲乙的胜败情况如何？又"#*#不能被)整除’结论成立’解：由于失败者最后只有一个球，在倒数例#设$、%为正实数，#(#*#’试第二次取

4、球时，球数必为)个或!个’因此，$%只要球数剩下.个，先取者必败’证：对每一个自然数!，有因此，当!*)#(#（##"）时，甲必败’!!!!!!(#（$(%）+$+%$!+!’此时乙可采取如下策略：甲取#个（或!个），（#,--，全国高中数学联赛）则乙接着取!个（或#个），保证余下的球是##证明：由(*#得$%*$(%’)的倍加#’轮轮如此，最终必出现只剩.$%个球的情形’而甲先取，故甲必败’又$%$，%%$，故$(%$!&$%，即当!*)#（或)#(!）时，甲先取!个（或"本文收稿日期：!$$$%$&%#"#个），使留下来的球是

5、)的倍加#，则乙代%++"年第*期""替了上述情况中的甲，故乙必败!数？例!运动会开了!天（!!"），发出"解：用质数%、*、,、$、""、"*⋯等试验知*个奖牌!第一天发出"个加上余下的"#"符合要求，下面用淘汰法证明除*以外，别无个的"，第二天发出%个加上余下的"，如此质数满足要求!$$将自然数分成三类：*!，*!&"，*!&%继续，最后第!天恰好把余下的奖牌发完!（!""），问运动会开了几天？共发了多少奖牌？-*!&"&%+’*（!&$）是合数，解：设运动会开了#天后剩下$个奖牌#*!&%&"(’*（!&(）是合数，（#""

6、，#!"），则第#天发出的奖牌数为因而形如*!&"和形如*!&%的数加""(#&（$##"##）’$##"&#，上"(和%+后不全是质数!$$$"(在剩下的形如*!的数中，显然除*以$#’$##"#（$##"&#），$$外，当!!"时均为合数!即$$$#&#（#""，#!"）!故符合条件的质数只有*!##"’(例%求曲线.$’%%&,%&%（+%%%$"’"&$(",+）上的整点!$$解：问题即求曲线上整点的坐标!’"&（%&$%）((%&,%&%显然$’%（+%%%,+）!%$$$.’"&)%&（）（*&$*）(((将整数%分为

7、四类：.!、.!&"、.!&%%*$$$’"&%)&*（）&（）$*（!’+，"，%，⋯，"%）、.!&*（!’+，"，%，⋯，(((""），用淘汰法进行讨论!’⋯⋯$$%当%’.!时，$’.!%"；&,!&’"&%)&*（）&⋯%((当%’.!&"时，$’.!%!#"!&$!&%；$$&!（(）&（(）$!!当%’.!&%时，$’.!%&/!&.；由$，得!’+当%’.!&*时，$’.!%"*&""!&!%!#"%$$$"’"&%)&*（）&⋯&!（）当%为.!和.!&*时$均不是整数，(((!故所求整点为（.!%（!#(）$&

8、$!&%，.!&"）和’!#"&*(!(（.!%&/!&.，.!&%）（!’+，"，%，⋯，"%）!因!!"，#!#(#$(!#"，$!与(!#"互例&不能写成两个奇合数之和的最大质，故!’(，"’*(!偶数是多少？运动会开了(天，共发了*(个奖牌