集合的概念与表示法

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1、第3章集合3.1集合的概念与表示法3.2集合的运算与性质3.3集合的划分与覆盖3.4排列与组合3.5归纳原理3.6容斥原理和抽屉原理3.7递推关系3.8集合论在命题逻辑中的应用7/14/20213.1集合的概念与表示法3.1.1集合的概念集合作为数学的一个基本而又简单的原始概念，是不能精确定义的。一般我们把一些确定的互不相同的对象的全体称为集合，集合中的对象称为集合的元素。通常用大写字母(如A、B等)表示集合，用小写字母(如a、b)表示集合中的元素。给定一个集合A和一个元素a，可以判定a是否在集合A中。如果a

2、在A中，我们称a属于A，记为a∈A。否则，称a不属于A，记为aA。例如，某大学计算机系的全体学生、所有自然数等都是集合。7/14/2021由集合的概念可知，集合中的元素具有确定性、互异性、无序性和抽象性的特征。其中：(1)确定性是指：一旦给定了集合A，对于任意元素a，我们就可以准确地判定a是否在A中，这是明确的。(2)互异性是指：集合中的元素之间是彼此不同的。即集合{a，b，b，c}与集合{a，b，c}是一样的。(3)无序性是指：集合中的元素之间没有次序关系。即集合{a，b，c}与集合{c，b，a}是一样的

3、。(4)抽象性是指：集合中的元素是抽象的，甚至可以是集合。如A＝{1，2，{1，2}}，其中{1，2}是集合A的元素。7/14/2021集合是多种多样的，我们可以根据集合中元素的个数对其进行分类。集合中元素的个数称为集合的基数，记为

4、A

5、。当

6、A

7、有限时，称A为有限集合；否则，称A为无限集合。下面将本书中常用的集合符号列举如下：N：表示全体自然数组成的集合。Z：表示全体整数组成的集合。Q：表示全体有理数组成的集合。R：表示全体实数组成的集合。Zm：表示模m同余关系所有剩余类组成的集合。7/14/20213.1

8、.2集合的表示法表示一个集合通常有两种方法：列举法和谓词表示法。1.列举法(或枚举法)列举法就是将集合的元素全部写在花括号内，元素之间用逗号分开。例如：A＝{a，b，c}，B＝{0，1，2，3，…}。列举法一般用于有限集合和有规律的无限集合。2.谓词表示法(或描述法)谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性。通常用{x

9、p(x)}来表示具有性质p的一些对象组成的集合。例如：{x

10、1≤x≤6∧x为整数}为由1、2、3、4、5、6组成的集合。下面讨论集合之间的关系。7/14/20213.1.3集合的包含与相等包含

11、与相等是集合间的两种基本关系，也是集合论中的两个基本概念。两个集合相等是按照下述原理定义的。外延性原理两个集合A和B是相等的，当且仅当它们有相同的元素。记为A＝B。例如，若A＝{2，3}，B＝{小于4的素数}，则A＝B。定义3.1设A和B为两个集合，若对于任意的a∈A必有a∈B，则称A是B的子集，也称A包含于B或B包含A，记作AB。如果B不包含A，记作AB。B包含A的符号化表示为：ABx(x∈A→x∈B)。例如，若A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2}，C＝{2，3}，则BA且CA，但CB。7/1

12、4/2021定理3.1集合A和B相等当且仅当这两个集合互为子集。即：A＝BAB∧BA。证明若A＝B，则A和B具有相同的元素，于是x(x∈A→x∈B)、x(x∈B→x∈A)都为真，即AB且BA。反之，若AB且BA，假设A≠B，则A与B元素不完全相同。不妨设有某个元素x∈A但xB，这与AB矛盾，所以A＝B。这个定理非常重要，是证明两个集合相等的基本思路和依据。7/14/2021定理3.2设A、B和C是三个集合，则：(1)AA。(2)AB∧BCAC。证明(1)由定义显然成立。(2)A

13、B∧BCx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B→x∈C)x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈C))x(x∈A→x∈C)AC。定义3.2设A和B是两个集合，若AB且B中至少有一个元素b使得bA，则称A是B的真子集，也称A真包含于B或B真包含A，记作AB。否则，记作AB。B真包含A的符号化表示：7/14/2021ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)。若两个集合A和B没有公共元素，我们说A和B是不相交的。例如，若A＝{a，b，c，d}，B＝{b，c}，则B是A的真子集，但

14、A不是A的真子集。需要指出的是，∈与表示元素和集合的关系，而、与＝表示集合和集合的关系。例如，若A＝{0，1}，B＝{0，1，{0，1}}，则AB且AB。定理3.3设A、B和C是三个集合，则(1)(AA)。(2)AB(BA)。(3)AB∧BCAC。7/14/2021证明仅证(2)和(3)(2)ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)