§4.4 椭球面

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1、§4.4 椭球面 一、概念：在空间直角坐标系下，由方程++＝1所表示的曲面叫做椭球面，或称椭圆面，通常假定a≥b≥c>0.该方程叫做椭球面的标准方程.二、图形(如图4-4)：1.    讨论方法：一般地，运用解析方法对曲面标准方程进行讨论的步骤可概括为：(1)曲面的对称性：讨论图形各部分之间的关系；(2)曲面的范围：讨论图形存在的范围；(3)曲面和坐标轴、坐标平面的关系：以便对图形的大概轮廓有所了解；(4)确切研究曲面的弯曲变化情况：主要方法是平行截割法.它是用一族平行平面来截割曲面，研究截口曲线是怎样变化的，也叫平行截面

2、法，或平行截口线法. 2．讨论过程：(1)曲面的对称性：椭球面关于三坐标平面、三坐标轴、坐标原点都对称.椭球面的对称平面、对称轴与对称中心依次叫做椭球面的主平面、主轴与中心.(2)曲面与坐标轴的交点：椭球面的三条对称轴与椭球面的交点叫做椭球面的顶点,因此椭球面的顶点为(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c).同一条轴上的两顶点间的线段以及它们的长度2a,2b,2c叫做椭球面的轴，它的一半叫做半轴.当a>b>c>0时，2a,2b,2c分别叫做椭球面长轴、中轴、短轴，而a,b,c分别叫做椭球面的长半轴、中半轴、短半

3、轴.(3)曲面的存在范围：椭球面完全被封闭在一个长方体的内部，这个长方体由六个平面：x＝±a, y＝±b, z＝±c所围成.(4)被坐标面所截得的曲线：① ② ③分别为xOy,xOz,yOz坐标面上的椭圆，它们叫做椭球面的主截线(或主椭圆).(5)被坐标面的平行平面所截得的曲线：考虑截线 或           ④椭球面可以看成由此椭圆族④所生成，这些椭圆所在平面与xOy坐标面平行，而椭圆的两双顶点分别在另外两个椭圆②与③上.用平行于其他坐标面的平面来截割椭球面，结论类似.3.椭球面的参数方程为    (0≤q≤p,0≤j

4、<2p)从中消去q,j可得椭球面的标准方程.例1.由椭球面++=1的中心(即原点)，沿某一定方向到曲面上一点的距离是r，设定方向的方向余弦分别为l,m,v,试证＝＋＋.证明：设P(x,y,z)为曲面上任一点，依题意有＝r, 其中＝{l,m,n},即有            x＝rl, y＝rm, z＝rv代入椭球面方程整理得＝＋＋.例2.由椭球面＋＋＝1的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面于点P1,P2,P3，设OP1＝r1,OP2＝r2,OP3＝r3,试证++＝＋＋.证明：设的方向余弦分别为li,mi,ni(i＝

5、1,2,3)则由上题结果有＝＋＋,=＋＋,＝＋＋,从而               ＋＋＝＋＋.由于与x轴夹角的方向余弦分别为l1,l2,l3,从而在{O;,,}下,Ox的方向余弦就是l1,l2,l3,于是，同理有，.所以有   ++＝＋＋.例3.一直线分别交坐标面yOz,zOx,xOy于三点A,B,C.当直线变动时，直线上的三定点A,B,C也分别在三个坐标面上变动，另外直线上有第四点P，它与A,B,C三点的距离分别为a,b,c，当直线按照这样的规定（即保持A,B,C分别在三坐标面上）变动，试求P点的轨迹.解：设直线的方向

6、余弦为cosa,cosb,cosg,P点的坐标为(x0,y0,z0)，则直线的方程为＝＝,即 x＝x0＋tcosa, y＝y0＋tcosb, z＝z0＋tcosg.令x＝0,得直线与yOz面的交点A的坐标，因此有x0＋tcosa＝0.根据t的几何意义t＝a，得x0±acosa＝0 或 x0＝±acosa.同理得         y0＝±bcosb, z0＝±cosg,从而有   ++＝cos2a+cos2b+cos2g＝1,所以P点的轨迹为椭球面++＝1.例4.已知椭球面++＝1(c

7、的平面.解法一：设所求平面为z＝ky，要使它与曲面的交线                  ①为圆，则其圆心为(0,0,0)，半径为a，故该圆的方程还可改写成                 ②①,②对于xOy平面的射影柱面分别为+,+,它们应为同一曲面，故有+＝+,解得 k＝±,故所求平面为z＝±,即                  c.解法二：由题设交线圆总可以看成以原点为中心，a为半径的球面与已知椭球面的交线由于此圆在过x轴的平面上，故此圆对于yOz平面的射影柱面即为所求平面，为此从上述两方程中消去x即得c.作业题

8、：1.    求椭球面的方程，它的各条对称轴与坐标轴重合，且通过曲线 +=1, z＝0和点N(2,1,).2.求椭球面++z2=1与平面x+4z－4＝0的交线在xOy平面上的射影曲线.