数理方程第三章 行波法与积分变换法

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1、第三章行波法与积分变换法一行波法适用范围：无界域内波动方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。关键步骤：通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶偏微分方程。9/9/202119/9/20212一维波动方程的达朗贝尔公式行波法9/9/20213结论：达朗贝尔解表示沿x轴正、反向传播的两列波速为a波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位移时，代表以速度a沿x轴正向传播的波代表以速度a沿x轴负向传播的波4解的物理意义b.只有初始速度时：假使初始速度在区间上是常数，而在此区间外恒等于09/9/20214解：将初始条件代入达朗

2、贝尔公式5达朗贝尔公式的应用9/9/20215影响区域决定区域依赖区间特征线特征变换行波法又叫特征线法6相关概念9/9/202167非齐次问题的处理(齐次化原理)利用叠加原理将问题进行分解：9/9/20217利用齐次化原理，若满足：则：令：9/9/20218从而原问题的解为9/9/202199/9/202110特征方程9/9/202111例1解定解问题解9/9/202112例2求解解：特征方程为令：9/9/202113例3求解Goursat问题解：令9/9/202114思考题：求解如下定解问题9/9/202115二积分变换法1傅立叶变换法傅立叶变换的性质微分性位移性积分性相似性傅立叶变

3、换的定义偏微分方程变常微分方程9/9/202116例1解定解问题解：利用傅立叶变换的性质9/9/2021179/9/202118例2解定解问题解：利用傅立叶变换的性质9/9/2021192拉普拉斯变换法拉普拉斯变换的性质微分性相似性拉普拉斯变换的定义偏微分方程变常微分方程9/9/202120例3解定解问题解：对t求拉氏变换9/9/202121例4解定解问题解：对x求傅氏变换对t求拉氏变换9/9/2021229/9/202123例5解定解问题解：对t求拉氏变换对x求傅氏变换9/9/2021249/9/202125例6求方程满足边界条件，的解。解法一：9/9/202126解法二：对y求拉氏

4、变换9/9/202127例7解定解问题解：对t取拉氏变换x取傅立叶变换其中9/9/2021289/9/2021299/9/2021309/9/2021313积分变换法求解问题的步骤对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变的为定解条件对常微分方程，求原定解条件解的变换式对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解4积分变换法求解问题的注意事项如何选取适当的积分变换定解条件中那些需要积分变换，那些不需取如何取逆变换思考利用积分变换方法求解问题的好处是什么？9/9/202132三.三维波动方程的柯西问题9/9/202133球对称情形所谓球对称

5、是指与无关，则波动方程可化简为9/9/202134半无界问题9/9/202135这是关于v=ru的一维半无界波动方程.9/9/202136一般情形我们利用球平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学上看，总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况。所谓球平均法，即对空间任一点（x，y，z），考虑u在以（x，y，z）为球心，r为半径的球面上的平均值其中为球的半径的方向余弦，9/9/202137如把x,y,z看作参变量，则是r，t的函数，若能求出，再令则为此把波动方程的两边在以x，y，z为中心，r为半径的球体内积分，并应用Gauss公式，可得（*1）9/9/202138同时有

6、由（*1）(*2)可得（*2）关于r微分，得（*3）利用球面平均值的定义，（*3）可写成（*4）9/9/202139（*4）又可改写为9/9/202140通解为令r＝0，有代入上式，得（*5）关于r微分，再令r＝0，有（*6）9/9/202141接下来，求满足初值的解。对（*5）关于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得9/9/2021429/9/202143从而有9/9/2021449/9/202145Poisson公式9/9/202146四.二维波动方程如果我们把上述问题中的初值视为重复推导Poisson公式的过程，将会发现所得Poisson公式中不含第三个变量

7、。降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。由Hadamard最早提出的。9/9/202147计算上述曲面积分。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在上的球面积分可由在圆域上的积分得到。9/9/202148因此9/9/202149物理意义惠更斯原理（无后效性现象）三维情形二维情形波的弥散（后效现象）9/9/202150