概率与数理统计第13讲

《概率与数理统计第13讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章.数学期望和方差分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性，但在实际问题中，随机变量的分布函数较难确定，而它的一些数字特征较易确定．并且在很多实际问题中，只需知道随机变量的某些数字特征也就够了.另一方面，对于一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。1随机变量的平均取值——数学期望随机变量取值平均偏离平均值的情况——方差描述两个随机变量之间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容2引例:测量50个圆柱形零件直径（见下

2、表）则这50个零件的平均直径为尺寸（cm）89101112数量（个）8715101050§4.1数学期望3换个角度看，从这50个零件中任取一个，它的尺寸为随机变量X,则X的概率分布为XP89101112则这50个零件的平均直径为称之为这5个数字的加权平均，数学期望的概念源于此.4定义1.1：设离散型随机变量X的概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X)。数学期望的定义5常见离散型随机变量的数学期望(1)0－1分布这时P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.故E(

3、X)=0×P(X=0)+1×P(X=1)=p.(2)二项分布X的取值为0,1,…,n.且P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n.6(3)泊松分布X的所有可能取值为0,1,2,…,且7(4)几何分布X的可能取值为1,2,…,且P(X=k)=qk-1p,k=1,2,….p+q=1.注:在第三个等号中利用了等式这可以由等式两边同时对x求导数得到。8例1.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽查到

4、废品的概率是p，试求平均需抽查的件数。解：设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能取值为1,2,…,n，且9例1.（续）10定义1.2：设X为连续型随机变量,其密度函数为　　，若积分绝对收敛，则称此积分为随机变量X的数学期望或均值，记作E(X)。注意：随机变量的数学期望的本质就是加权平均数，它是一个数，不再是随机变量。11(5)指数分布E()随机变量X的密度为：常见连续型分布的数学期望12定理1.1.设X的数学期望有限，概率密度f(x)关于对称，f(+x)=f(-x)。则E(X)=。证明：令g(t

5、)＝tf(t+)，由g(-t)＝-g(-t)知g(t)是奇函数。于是，推论1.2.若X～N()，则E(X)=。若X～U(a,b),则E(X)＝(a+b)/2。13例2.设X的概率密度为：求E(X)。解:注:由于f(x)是偶函数，由定理1.1也知E(X)=0。14注意：不是所有的随机变量都有数学期望例如：Cauchy分布的密度函数为但发散它的数学期望不存在注：虽然f(x)是偶函数，但不能用定理1.1。15设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的数学期望，而是X的某个函数的数学期望，比如说g(X)

6、的数学期望.那么应该如何计算呢？更一般的，已知随机向量(X1,X2…,Xn)的联合分布，Y=g(X1,X2…,Xn)是(X1,X2…,Xn)的函数,需要计算Y的数学期望，应该如何计算呢？我们下面就来处理这个问题。§4.2数学期望的性质16A.随机向量函数的数学期望设X=(X1,…,Xn)为离散型随机向量，概率分布为Z=g(X1,…,Xn),若级数绝对收敛，则17随机向量函数的数学期望（续）设X=(X1,…,Xn)为连续型随机向量，联合密度函数为Z=g(X1,…,Xn),若积分绝对收敛，则18例3.设

7、离散型随机向量X的概率分布如下表所示,求:Z=X2的期望.X0−11E(Z)=g(0)0.5+g(-1)0.25+g(1)0.25解:=0.5注：这里的19例4.设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望.E(Z)=g(1,1)0.125+g(1,2)0.25+g(2,1)0.5+g(2,2)0.125解:=4.25注：这里的20例5.设随机变量X服从二项分布B(n,p),Y=eaX,求E(Y)。解:21例6.设X~U[0,],Y=sinX,求E(Y)

8、。解:X的概率密度为所以22例7.设二维随机变量(X,Y)的密度函数为求E(X),E(Y),E(X+Y),E(XY),E(Y/X)解:23数学期望的性质例7.（续）24数学期望的性质注意：X,Y相互独立例7.（续）25例7.（续）26例8.假设由自动线加工的某种零件的内径X(mm)~N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径X有如下的关系：问平均直径为何值时，销售一个零件的平均利润最大？27解：则由数学期望定义知：例8.（续）28即：可以验证，零件