线性代数相似矩阵与二次型第4节二次型及其标准型

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1、1一.二次型及其矩阵表示1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩1.二次型、二次型的矩阵、秩2.非退化线性变换3.矩阵的合同称为二次型。（1）含有个变量的二次齐次多项式定义1：2（我们仅讨论实二次型）实二次型：为实数。复二次型：为复数。例如：都是二次型。不是二次型。3只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）。例如：都为二次型；为二次型的标准形。4取则则（1）式可以表示为二次型用和号表示56令则其中为对称矩阵。二次型的矩阵表示例如：二次型7在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵

2、之间存在一一对应的关系．把对称矩阵称为二次型的矩阵也把二次型称为对称矩阵的二次型对称矩阵的秩称为二次型的秩二次型定义2：8例1：求二次型的矩阵解：解：9解：10例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二次型的秩为2，求参数c。解：112.非退化线性变换（可逆线性变换）系数矩阵线性变换，记作（2）则线性变换（2）可记作：12是可逆矩阵，则称线性变换（2）是非退化线性变换是正交矩阵，则称线性变换（2）是正交线性变换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换使二次型只含平方项.即二次型经过可逆线性变换这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型使得133.矩阵的合

3、同经过非退化线性变换可化为则14因为以上说明：15矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.矩阵合同的性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性16注释：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）“合同”定义中，矩阵A、B为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵