1.2.5函数的单调性(教师用)

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1、必修Ⅰ——函数1.2.5函数的单调性（教师用）知能点全解：知能点一：函数单调性的定义Ⅰ图形描述：对于函数的定义域I内某个区间D上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数在区间D上为单调递减函数。Ⅱ定量描述对于函数的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，（1）若当时，都有,则说在区间D上是增函数；（2）若当时，都有,则说在区间D上是减函数。Ⅲ单调性与单调区间若函数=在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具

2、有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当时是增函数，当时是减函数。而有的函数在整个定义域上都是单调的。2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。例1：如图是定义在闭区间上的

3、函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数。解：函数的单调区间有。其中在区间上是减函数，在区间上是增函数。知能点二：用定义证明函数的单调性例2：证明函数是增函数。证明：设是R上的任意两个实数，且<则∵∴，又∵,∴即∴在上是增函数。7必修Ⅰ——函数例3：证明函数在上是减函数证明：设是上的任意两个实数，且<，则=∵∴∴所以函数在上是减函数。特别提醒：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是：（1）取量定大小：即设是区间上的任意两个实数，且<；（2）

4、作差定符号：即，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；（3）判断定结论：即根据定义得出结论。及时演练：1、判断并证明下列函数的单调性（1）（2）（3）（4）2、讨论下列函数的单调性，指出其单调区间并予以证明（1）（2）（3）（4）7必修Ⅰ——函数3、判断下列各函数在给定的单调区间上是增函数还是减函数（1）（2）（3）（4）4、讨论函数在(-2,2)内的单调性知能点三：判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论Ⅰ函数与函数的单调性相反Ⅱ当恒为正或恒为负时，函数与函数的单调性相反

5、Ⅲ在公共区间内，增函数增函数增函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数。例4：求函数的单调区间。解：∵，得单调递减区间是和，在上单调递减∴函数的单调区间是和。及时演练：1、下列函数中，在区间上为增函数的是（B）A、B、C、D、2、在上单调递减的函数是（A）A、B、C、D、3、函数的单调递减区间是和。7必修Ⅰ——函数4、已知定义在同一区间上，是增函数，是减函数，且，则（B）A、为减函数B、为增函数C、为减函数D、为增函数5、的单调减区间是和。6、二次函数的递增区间为，则二次函数的递减区间为。7、已知

6、函数，则使函数是减函数的区间是。8、设是定义在区间上的增函数，且，则下列函数：①；②③；④中，是减函数的有①②④（把序号填在横线上）。知能点四：复合函数单调性的判断对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：增↗减↘增↗减↘增↗减↘增↗减↘减↘增↗以上规律还可总结为：“同增异减”。例5：求函数的单调递增区间.解：由，得或∴函数的定义域是令则易知函数在上是增函数，函数的单调递增区间是∵原函数的定义域为∴函数的单调递增区间是所以函数的单调递

7、增区间是典型题型全解题型一：利用函数单调性比较函数值的大小例6：如果函数，对任意实数都有，比较的大小。7必修Ⅰ——函数解：由题意知，得对称轴为，故∵在上是增函数∴，即及时演练1、已知，当时，为增函数，设，则的大小关系为。2、若，且，函数，则与的大小关系为。3、函数对任意均有，那么的大小关系为。题型二：利用函数单调性求参数的范围例7：已知在上是减函数，求实数的取值范围。解：要是在上是减函数，由二次函数的图像可知，只要对称即可，解得。及时演练：1、若函数在上是增函数，则有（C）A、B、C、D、2、若与在区

8、间上都是减函数，则的取值范围是（D）A、B、C、D、3、已知函数在上递增，则的取值范围是。4、已知函数，并且的最小值为，则实数的取值范围是。5、函数的最大值是，那么实数的取值范围为。6、函数在区间上是增函数，则的取值范围是。题型三：利用函数单调性求函数的最值例8：（1）求函数的值域；（2）已知，对于函数，若时，，求的值。解：（1）由得，函数的定义域为，而函数和在上都是增函数，则也是增函数，当时，它取得最小值，所以得最小值为1，即它的值域为。（2）函数表示