有趣的九宫格填数

《有趣的九宫格填数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、有趣的九宫格填数江苏省泗阳县李口中学沈正中九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从1到n2的自然数，这样的方阵就称为n阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。九宫格实质上是幻方中n＝3时的三阶幻方。三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数

2、学家。他曾将幻方命名为“纵横图”(三阶幻方也叫络书或九宫图)，并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、2、3，4、5、6，7、8、9），上下对调（1、9），左右相换（7、3），四维挺出（4、2、8、6）。”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l下9两数对调（如下图二），左7右3两数互换（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下

3、图四），这样就构造了一个三阶幻方。1              9            9                4   2          4   2        4   2       4  9  27   5   3      7   5   3    3   5   7     3  5  7  8   6          8   6        8   6       8  1  6    9              1             1  图一           图二

4、         图三        图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的和为：1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。在1到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9

5、+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。九宫格中，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值

6、，应用前景也广泛，相关介绍请查阅资料。三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；幻方中的两个公式：幻和＝中心数×3；幻和＝总数÷3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和。下面举几例来说明九宫格填数。【题1】：将下面左边方格中的9个数填入右边九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和

7、相等。【解析】：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3号为“6”，4、5、6号为“8”，7、8、9号为“10”。按口诀：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如右图可以填好表格。【题2】：将9个连续自然数填入3×3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。【解析】：由已知条件可知，这个幻方，幻和为60，中心数为：60÷3=20。所以这9个连续的自然数为：16、17、18、19、20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对

8、号入座，可完成表格。如上图所示。【题3】：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A，B，C，D，E，F，G应各是多少？【解析】：由题意可知，幻和为27，中心数为：27÷3=9，所以C等于9。填好中心数后，根据幻和，依次求出其它方格里的数：D=27-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=2