最优化方法与最优控制2

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1、第二章非线性规划在实践中，最优化问题的目标函数和(或)约束条件常常是非线性的，如例1-1和例2-1。这类问题称为非线性规划问题。求解无约束条件的非线性规划问题通常采用逐步逼近法(俗称试探法)，若在求解过程中使用了目标函数的导数，称为解析法；不使用导数而直接利用目标函数进行比较、搜索，称为直接法。对于有约束条件的非线性规划问题，可以将其转化为无约束条件的非线性规划问题后再进行求解。本章介绍求解非线性规划的一些方法，对解的收敛性不作讨论。例2-1求解例1-1，即有一块薄的塑料板，宽为，对称地把两边折起，做成槽(如图2-1)。欲使槽的横截面积S最大，、和的最优值是多少？x2x1a图2

2、-1横截面积与参数关系图解：最优化问题的目标函数和约束条件为，；；。分析：该问题的目标函数是非线性的，属非线性规划问题。目标函数自变量中，只有2个是自由的，不妨以和为自变量，将其转化为无约束条件的非线性规划问题。；。目标函数改写为：，原最优化问题简化成二元函数求极值问题，求解过程如下：；；；；最优解：；；；。该例实质上是二元函数求极值问题，经解析方法计算使的一阶导数等于零的参数值，且的海森矩阵，是负定矩阵，目标函数取极大值，即为最优解。222-1一元函数的极小化1.极值(极大或极小值)若函数在点的双侧邻域中有定义，并且对于某邻域内的所有点，不等式(或)成立，则称函数在点处有极大

3、值(或极小值)。2.极值存在的必要条件假定函数在区间内存在有限导数，若函数在点处有极值，则必有。3.极值存在的充分条件(1)若函数满足条件：(a)在的某邻域内有定义并且连续，且在点处，或不存在；(b)在范围内有有限的；(c)在点的两侧有固定的符号，则函数在点处的极值情况见下表：＋0或不存在－极大值－＋极小值＋＋增函数－－减函数(2)若函数有二阶导数，并且在点处下列条件成立:,，则函数在点处有极值，当时，有极大值；当时，有极小值。(3)设函数在某邻域内有导数，且，；。若为偶数，则函数在点处有极值为极大值；为极小值；若为奇数，则函数在点处无极值。例2-2求函数，的最大值和最小值，。

4、解：先求出一阶导数等于零的点，；，，；；，，；函数在处有极小值，在处有极大值，在处有极小值；，。答案：函数最大值为54，最小值为-125.5625。22例2-3求函数的极值点。(2-1)4.80f(x)x5.004.8900.250.500.751.001.251.50图2-2例2-3的f(x)曲线解：；，；，；；答案：函数在极点处有极小值。点是的拐点。2-1-1牛顿迭代公式在求解函数的局部极值时，如例2-1、例2-2和例2-3所示，必须解方程。(2-2)求解非线性方程通常是很困难的。这里介绍著名的牛顿迭代公式。该方法是一种快速逼近方法，简称牛顿法。一般的牛顿法假设函数具有连续

5、的一阶导数，且是函数的零点，是零点的初始估计值。函数在其零点估计值邻域的一阶泰勒展开式为，。(2-3)因式(2-3)是计算的近似表达式，通常，只能得到更精确的估计值。迭代公式为，。其中是线性搜索因子，用于保证算法收敛或调整收敛速度，常用值为1。牛顿法的计算步骤如下：1.选取区间，使，；2.选取初始零点估计值，允许误差；3.计算、；4.收敛性检查，若，则，终止计算；否则继续；5.计算；6.返回到步骤3，继续逼近零点。例2-4求式(2-1)所示函数极值点。解：记，选取区间，、及,满足步骤1中的条件；取初始估计值；取允许误差。5次迭代的结果见表2-1。22表2-1例2-4牛顿法计算表

6、00.4000000000.216000.7200030.246739130-0.007402.2892610.100000000-0.486004.3200040.249972010-0.000062.2503420.212500000-0.093022.7168850.249998672-4.0×10-9ε=10-5答案：函数在处有极小值，。近似牛顿法如果不易算出，可用的差分代替，得到近似牛顿迭代公式。(2-4)例2-5应用近似牛顿迭代公式(2-4)，求式(2-1)所示函数的极值点。解：初始搜索区间同例2-4，取，。五次迭代的结果见表2-2。表2-2例2-5近似牛顿法计算表

7、00.4000000000.2160000000.2160071990.21599279910.100012499-0.485946003-0.485902806-0.48598920220.212504882-0.093010173-0.092983005-0.09303734230.246739357-0.007400376-0.007377484-0.00742326940.249971994-0.000063016-0.000040513-0.0000955250.249999996