3.1.1 方程的根与函数的零点 课件（人教A版必修1）

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1、3.1函数与方程3．1.1方程的根与函数的零点1.对函数图象与x轴交点与方程根的关系，简单的了解即可．2．对函数零点的概念要理解，函数零点的求法一定要掌握．3．零点存在性及函数零点个数的判定是本节重点，在高者中经常出现，应引起高度重视.研习新知新知视界1．方程的根与函数的零点(1)函数零点的概念．对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫函数y＝f(x)的零点．函数的零点是一个实数．(2)方程的根与函数零点的关系．求函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．方程f(x)＝0有实

2、数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判断如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．思考感悟1．函数的零点就是点，任何函数都有零点，对吗？提示：函数的零点不是点，而是对应方程的根；并不是任何函数都有零点，如函数y＝x2＋x＋1就没有零点．2．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连

3、续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)>0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：当f(a)f(b)<0时，则在(a，b)上一定有零点，但不一定说明有几个，可以有若干个，至少有一个．但并不是说当f(a)f(b)>0时，在(a，b)上就没有零点，当f(a)f(b)>0时，(a，b)上亦可能有零点．并且当f(a)f(b)<0时，(a，b)上也不一定只有一个零点，若另有f(x)在(a，b)上单调，可说明f

4、(x)在(a，b)上有一个零点．答案：B2．函数y＝x2－3x＋1的零点个数是()A．0B．1C．2D．不确定答案：C3．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上()A．至少有三个零点B．可能有两个零点C．没有零点D．必有唯一的零点答案：D4．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是()A．a<1B．a>1C．a≤1D．a≥1解析：函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，就是方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，故判别式Δ＝4－4

5、a<0，解得a>1.答案：B5．已知函数f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则该函数所有零点之和为__________．解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，∴f(x)的零点也关于y轴对称，∴即零点之和为0.答案：0互动课堂典例导悟类型一　　函数零点的概念及求法[例1]求函数y＝－x2－2x＋3的零点，并指出y>0，y<0时，x的取值范围．[解]如图1所示，解二次方程－x2－2x＋3＝0，得x1＝－3，x2＝1，∴函数y＝－x2－2x＋3的零点为－3,1.y＝－x2－2x＋3＝

6、－(x＋1)2＋4，画出这个函数的简图，从图象上可以看出当－30；当x<－3或x>1时，y<0.∴函数y＝－x2－2x＋3的零点是－3,1.当y>0时，x的取值范围是(－3,1)；当y<0时，x的取值范围是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．[点评]函数的零点即对应方程的根．本题借助零点和二次函数的图象得出不等式ax2＋bx＋c>0(<0)的解集，体现了数形结合的思想方法．变式体验1(1)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，求a、b的值．(2)若f(x)＝ax－b(b≠0)有一个

7、零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．类型二　　函数零点的判断[例2]判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．[分析]零点的存在性判断可依据零点的存在性定理，有时也可以结合图象进行判断．[解](1)法1：∵f(1)＝－20<0，f(8)＝64－24－18＝22>0.∴f(1)·f(8)<0，∴f(x)在[1,8]内存在零点．法

8、2：令x2－3x－18＝0，得x＝6或x＝－3.又6∈[1,8]．∴函数f(x)在[1,8]内存在零点．(2)∵f(－1)＝－1<0，f(2)＝8－2－1＝5>0，∴f(－1)·f(2)<0，∴函数f(x)在[－1,2]内存在零点．变式体验2求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．解：解法1：∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(2)＝4＋lg3－2＝2＋lg3>0，∴f(x)在(0,2)上必定存在实根，又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－