《常微分方程式》PPT课件

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1、MATLAB程序设计进阶篇常微分方程式張智星jang@cs.nthu.edu.twhttp://www.cs.nthu.edu.tw/~jang清大资工系多媒体检索实验室11-1ODE指令列表MATLAB用于求解常微分方程式的指令:指令方法適用ODE類別ode45ExplicitRunge-Kutta(4,5)pairofDormand-PrinceNonstiffODEode23ExplicitRunge-Kutta(2,3)pairofBogackiandShampineNonstiffODEode113Vari

2、ableorderAdams-Bashforth-MoultonPECEsolverNonstiffODEode15sNumericaldifferentiationformulas(NDFS)StiffODEode23sModifiedRosenbrockformulaoforder2StiffODEode23tTrapezoidalrulewitha“free”interpolantStiffODEode23tbImplicitRunge-Kuttaformulawithabackwarddifferentiati

3、onformulaofordertwoStiffODEODE指令列表指令项目繁多，最主要可分两大类适用于Nonstiff系统一般的常微分方程式都是Nonstiff系统直接选用ode45、ode23或ode113来求解适用Stiff系统速率（即微分值）差异相常大使用一般的ode45、ode23或ode113来求解，可能会使得积分的步长（StepSizes）变得很小，以便降低积分误差至可容忍范围以内，会导致计算时间过长专门对付Stiff系统的指令，例如ode15s、ode23s、ode23t及ode23tb提示使用Simu

4、link來求解常微分方程式Simulink是和MATLAB共同使用的一套软件可使用拖拉的方式来建立动态系统可直接产生C程序代码或进行动画显示功能非常强大11-2ODE指令基本用法使用ODE指令时，必须先将要求解的ODE表示成一个函式输入为t（时间）及y（状态变量，StateVariables）输出则为dy（状态变量的微分值）ODE函式的档名为odeFile.m，则呼叫ODE指令的格式如下：[t,y]=solver('odeFile',[t0,t1],y0);[t0,t1]是积分的时间区间y0代表起始条件（Initial

5、Conditions）solver是前表所列的各种ODE指令t是输出的时间向量y则是对应的状态变量向量ODE指令基本用法以vanderPol微分方程为例，其方程式为：化成标准格式可用向量来表示成一般化的数学式为一向量，代表状态变量ODE指令基本用法假设=1，ODE档案（vdp1.m）可显示如下：>>typevdp1.mfunctiondy=vdp1(t,y)mu=1;dy=[y(2);mu*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];有了ODE档案，即可选用前述之ODE指令来求解ODE指令基本用法範例-1(I)在=1時

6、，vanderPol方程式并非Stiff系统，所以使用ode45来画出积分的结果範例11-1：odeBasic01.mode45('vdp1',[025],[33]');ODE指令基本用法範例-1(II)[0,25]代表积分的时间区间，[33]’则代表起始条件（必须以行向量来表示）因为没有输出变量，所以上述程序执行结束后，MATLAB只会画出状态变量对时间的图形ODE指令基本用法範例-2(I)要取得积分所得的状态变量及对应的时间，可以加上输出变量以取得这些数据范例11-2：odeGetData01.m[t,y]=ode

7、45('vdp1',[025],[33]');plot(t,y(:,1),t,y(:,2),':');xlabel('Timet');ylabel('Solutiony(t)andy''(t)');legend('y(t)','y''(t)');ODE指令基本用法範例-2(II)ODE指令基本用法範例-3(I)也可以画出及在相位平面（PhasePlane）的运动情况範例11-3：odePhastPlot01.m[t,y]=ode45('vdp1',[025],[33]');plot(y(:,1),y(:,2),'-o'

8、);xlabel('y(t)');ylabel('y''(t)');ODE指令基本用法範例-3(II)当值越来越大时，vanderPol方程式就渐渐变成一个Stiff的系统，此时若要解此方程式，就必须改用专门对付Stiff系统的指令ODE指令基本用法範例-4(I)将值改成1000，ODE档案改写成（vdp2.m）：>>typevd