2015年清华大学自主招生数学试题(领军计划)

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1、2015年清华大学自主招生数学试题（领军计划）说明：共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。全选对，得满分；选对但不全，得部分分；有选错的，得0分。1、设复数，则（）A.0B.1C.D.2、设为等差数列，为正整数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、设是抛物线上的两点，是坐标原点，若，则（）A.B.C.直线过抛物线的焦点D.到直线的距离小于等于14、设函数的定义域为，且满足：①；②。则为（）A.奇函数B.偶函数C.减函数D

2、.有界函数5、如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）A.2个极大值点B.3个极大值点C.2个极小值点D.3个极小值点6、的三边长分别为。若，且，则（）A.B.的周长为C.的面积为D.的外接圆半径为7、设函数，则（）A.有极小值，但无最小值B.有极大值，但无最大值C.若方程恰有一个实根，则D.若方程恰有三个不同实根，则48、已知，，已知，则（ABD ）A．B．C．D．9、非负实数满足，则的最小值为（）A.1B.2C.3D.4引申：改求的最大值呢？提示：柯西不等式．10、设数列的前项和为，若对任意正整数，总存在正整数，使得，

3、则（）A.可能为等差数列B.可能为等比数列C.的任意一项均可写成的两项之差D.对任意正整数，总存在正整数，使得11、运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能获得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（）A.甲B.乙C.丙D.丁12、长方体中，，则到平面的距离为（）A.B.C.D.13、设不等式组所表示的区域为，其面积为，则（）

4、A.若，则的值唯一B.若，则的值有2个C.若为三角形，则D.若为五边形，则14、的三边长是，其外心为，则（）A.0B.C.D.15、设随机事件与相互独立，且，则（）A.B.C.D.16、过的重心作直线将分成两部分，则这两部分的面积之比为（）4A.最小值为B.最小值为C.最大值为D.最大值为17、从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（C）A.105种B.225种C.315种D.420种提示：正2k+1边形对应的钝角三角形个数为k(k−1)(2k+1)．18、已知存在实数，使得圆周上恰好有个整点，则可以等

5、于（ACD）A.4B.6C.8D.12提示：．19、设复数满足，则（）A.的最大值为1B.的最小值为C.的虚部的最大值为D.的实部的最大值为20、设是大于零的实数，向量，其中。定义，，记，则（）A.B.C.D.21、设数列满足：，则（）A.B.C.为完全平方数D.为完全立方数22、在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（）A.B.C.D.23、设函数，则（）A.B.C.曲线存在对称轴D.曲线存在对称中心24、的三边长分别为，若为锐角三角形，则（）4A.B.C.D.25、设函数的定义域是，若，则存在实数，使得（）A.B.

6、在上单调递增C.D.26、在直角坐标系中，已知。若对于轴上的任意个不同点，总存在两个不同点，使得，则的最小值为（）A.3B.4C.5D.627、设非负实数满足，的（A）A.最小值为B.最小值为C.最大值为1D.最大值为提示：最小值为，无最大值． 提示：令，用判别式法即可．28、对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（A）A.存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多B.存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多C.存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个D.存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29、从中挑出三

7、个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如，则能得到的不同的五位数有（）A.300个B.450个C.900个D.1800个30、设曲线的方程为，则（）A.是轴对称图形B.是中心对称图形C.D.4