2016-2017八年级下数学尖子生培优1

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1、八年级全优班数学培优训练教程(1)—图形的思考问题1：如图，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB-AC＞PB-PC．变式：如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、AC上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线上.求证：BQ＋AQ＝AB＋BP问题2.已知，四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，BA＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°,∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC（或它们的延长线）于E、F.当∠MBN绕B点旋转到AE＝C

2、F时。如图1，易证：AE＋CF＝EF；（不需证明）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，如图2和图3中这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.DABCFNEMD图1ABCFNEMDABCFNEM图2图3变式：将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F.⑴求证：AF＋EF＝DE;⑵若将图①中△DBE绕点B顺时针方向旋转角α，且0

3、°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF、EF与DE之间的关系，并说明理由。AFDFCBEDACBEACB图①图②图③应用.⑴阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝5，AC＝13,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，

4、使得DE＝AD，再连接BE，把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4.感悟：解题时，条件中出现“中点”“中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中.⑵问题解决：受到⑴的启发，请你证明下面命题：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.ABEFCD求证：BE＋CF＞EF；⑶问题拓展：如图，在四边形ABDC中，∠B＋∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC=120°，以

5、D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．AEBFCD问题3：如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为A（2，－3），B（4，－1）．⑴若P（p，0）是x轴上的一个动点，则当p＝_________时，△PAB的周长最短；⑵若C（a，0），D（a＋3，0）是x轴上的两个动点，则当a＝___________时，四边形ABCD的周长最短；变式：如图①，已知直线y＝－2x＋4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方

6、形OABC．⑴求点A、C的坐标；⑵将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；DxyOBACB’图②图①xyOBAC变式2：在平面直角坐标系中，一动点P（x，y）从M（1，0）出发，沿由A（－1，1），B（－1，－1），C（1，－1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图①）按一定方向运动．图②是P点运动的路程s（个单位）与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分．⑴s与t之间的函数关系式是：_________；(2）与图③相对

7、应的P点的运动路径是：________；P点出发_______秒首次到达点B；⑶当3≤s≤8时，在图③中补全函数图象．