公开课--正弦、余弦函数的定义教学设计

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1、1.4.1《任意角的正弦函数、余弦函数的定义》教学设计任课老师：李保英教材：北师大版高一数学必修四第一章第四节第一小节一、教学目标1．知识与技能目标（1）了解任意角的正弦函数、余弦函数定义产生的背景和应用；（2）掌握任意角的正弦函数与余弦函数的定义，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，并能应用．2.过程与方法目标（1）通过参与知识的“发现”与“形成”的过程，培养合理猜测的能力，体会函数模型思想，数形结合思想．（2）培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力．3．情感、态度、价值观目标在学习中

2、感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性．感悟数学的本质，培养追求真理的精神．通过本节的学习，使同学们对正弦函数与余弦函数有了一个全新的认识，通过对定义的应用，提高学生分析、解决问题的能力．二、教学重难点教学重点:任意角的正弦函数与余弦函数的定义（包括定义域和函数值在各象限的符号）及其应用。教学难点:1.任意角的正弦函数与余弦函数的定义及其构建过程的理解.2.特殊角的正弦、余弦函数的计算。三、教学方法与教学手段问题讨论与类比、合作探究、讲练结合及多媒体课件演示的方法4四、教学过程教学内容教师活动学生活动设

3、计意图（一）回顾旧知，问题引入（2分钟）问1：初中我们学过锐角三角形的正弦与余弦函数，同学们还记得它是怎样表示的吗？你还记得30°45°、60°的正弦、余弦值是多少吗？学生回答：sina=对边/斜边，cosa=邻边/斜边；sin30°=cos60°=1/2;cos30°=sin60°=sin45°=cos45°=温故而知新（二）新知探究----—正弦、余弦函数的准确定义及性质（20分钟）问2：我们在前面已学过的任意角，那么任意角的正弦、余弦函数又该如何定义和求解呢？（提示：把角引用到直角坐标系中探究）

4、【师】a为任意角（包括正角、负角和零角），前一节我们已学过，显然利用初中正弦函数与余弦函数的定义已经不能满足需求，因此，我们必须重新定义正弦、余弦函数．今天，我们将在直角坐标系中，对此作深入探讨学生思考跟着教师思维走进新课堂启发学生学会在坐标轴上构建三角形，利用学过的三角函数套入公式(已知

5、op

6、=1)，得出任意角的正弦、余弦函数定义[课堂探究]如图,在直角坐标系中，我们作出一个以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，该圆称为单位圆．设锐角为α，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u,v)。讨论：

7、在单位圆中，任意角的sinα与cosα函数值又是什么？（构建三角形，可直接用锐角三角形的正弦、余弦公式求解）得出结果：问3：任意角有不同的象限角，那么，其他象限角的正弦、余弦函数是否也得到这样的结果？继续构建三角形，用学过的知识进一步求证培养学生独立思考、多角度考虑问题的能力问4：大家得出其他象限里任意角的正弦、余弦是否与第一象限一致呢？（提示：讨论的前提条件都是在单位圆内）【学生归纳】得出任意角的正弦函数、余弦函数定义：点P的纵坐标V定义为角a的正弦函数，记作v=sina;点P的横坐标u定义为角a的

8、余弦函数，记作u=cosa。问5：由图可知，对于给定的角a，点P的横、纵坐标都是唯一确定的，那么，正弦、余弦函数又是一个什么量呢？学生思考，可能得出结论：正弦、余弦函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标为函数值的函数。4问6：如果我们用x表示自变量（即x表示任意角大小），用y表示函数值，则得到任意角的正弦函数又如何表达呢？学生思考并作回答：正弦为y=sinx;余弦为y=cosx；（是一个y关于x为自变量的函数）（二）新知探究----—正弦、余弦函数的准确定义（15分钟）问7：我们学过函数的定义域和值

9、域，那么在上述定义中，任意角的正、余弦函数的定义域与值域分别是什么呢?结合单位圆图形分析得出：x表示任意角的大小，所以定义域为：全体实数R；而在单位圆中显然y∈[1,1]，故值域为：[1,1] 培养学生学会从特殊现象里找出普遍现象。问8：在单位圆里，任意角的正、余弦函数定义域是如此，那如果终边上一点P（u,v）不在单位圆上时（即在圆外）,它的三角函数定义域及值域还成立吗?学生自由探讨引导学生根据所学相似三角形性质得出结论：三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，所以定义域成立。算出：op=利

10、用相似三角形性质得出：sina=y/cosa=x/发现:三角函数的值与点P(x,y)在终边上的与位置无关，只与坐标比值、角度有关。问9：对于任意角α（正角、负角）的三角函数定义都成立，那么对于零角，它是否还成立呢？学生动手，简单证明（结论依然成立）得出结论：正余弦函数是以角度为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数。又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故它们也可以看成以实数为自变量的函数.学生齐读正弦、余弦函数的定义，进一步理解