2018版高考数学（理）（北师大版）大一轮复习讲义第十章 计数原理 第十章 10.2(1)

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1、1．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)C＝＝＝性质(1)0！＝1；A＝n！(2)C＝C；C＝C＋C__　　　　　　　　　　

2、　　　　　　　　　【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．(　×　)(3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.(　√　)(5)A＝nA.(　√　)(6)kC＝nC.(　√　)1．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(　　)A．24B．48C．60D．72答案　D解析　由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两

3、步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C种情况，再将剩下的4个数字排列得到A种情况，则满足条件的五位数有C·A＝72(个)．故选D.2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)A．144B．120C．72D．24答案　D解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.3．(教材改编)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)A．8B．24C．48D．120答案　C解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝

4、48(种)．4．某高三毕业班有40人，同学这间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)答案　1560解析　依题意知两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A＝40×39＝1560(条)留言．5．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有________种．答案　14解析　分两类：①有1名女生：CC＝8.②有2名女生：CC＝6.∴不同的选派方案有8＋6＝14(种)．题型一　排列问题例1　(1)3名男生，4名女

5、生，选其中5人排成一排，则有________种不同的排法．(2)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种．答案　(1)2520　(2)216解析　(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A＝2520(种)排法．(2)当最左端排甲时，不同的排法共有A种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有CA种．故不同的排法共有A＋CA＝120＋96＝216(种)．引申探究1．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“排成前后两排，前排3人，后排4人”，其他条件不变，则有多少

6、种不同的排法？解　前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A＝5040(种)排法．2．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男、女各站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解　相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法．根据乘法原理，共有A·A·A＝288(种)排法.3．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，男生不能站在一起”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解　不相邻问题(插

7、空法)：先安排女生共有A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A种排法，故共有A·A＝1440(种)排法．4．本例(1)中若将条件“选其中5人排成一排”改为“全体站成一排，甲不站排头也不站排尾”，其他条件不变，则有多少种不同的排法？解　先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A＝5(种)排法；再安排其他人，有A＝720(种)排法．所以共有A·A＝3600(种)排法．思维升华　排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素

8、或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的