2020版高考数学复习第十三单元第67讲不等式的证明练习理新人教a版

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1、第67讲　不等式的证明1.设a,b,c是正实数,且a+b+c=9,求2a+2b+2c的最小值.2.[2018·深圳耀华实验学校模拟]若a>0,b>0,a+b=1.求证:(1)4a+1b≥9;(2)2a+1+2b+1≤22.3.已知定义在R上的函数f(x)=

2、x+1

3、+

4、x-2

5、的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p2+q2+r2≥3.4.[2018·武昌调研]设函数f(x)=

6、x-2

7、+2x-3,记f(x)≤-1的解集为M.(1)求M;(2)当x∈M时,证明:x[f(x)]2-x2f(x)≤0.5.[2018

8、·甘肃临泽一中月考]已知函数f(x)=m-

9、x-2

10、,m∈R,且f(x+1)≥0的解集为[0,2].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R,且1a+12b+13c=m,求证:a+2b+3c≥9.6.[2018·衡水模拟]已知函数f(x)=

11、x-3

12、.(1)求不等式f(x)2a2+2b2.7.[2018·宁夏银川一中月考]已知函数f(x)=

13、x

14、-

15、x-1

16、.(1)若f(x)≥

17、m-1

18、的解集非空,求实数m的取值范围;(2)若正数x,y满足x2+y2=M,M为(1)中m可取到的最大值,求证:

19、x+y≥2xy.8.设函数f(x)=x-

20、x+2

21、-

22、x-3

23、-m,若对任意x∈R,1m-4≥f(x)恒成立.(1)求实数m的取值范围;(2)求证:logm+1(m+2)>logm+2(m+3).课时作业(六十七)1.解:∵(a+b+c)2a+2b+2c=[(a)2+(b)2+(c)2]·2a2+2b2+2c2≥a·2a+b·2b+c·2c2=18,且a+b+c=9,∴2a+2b+2c≥2,当且仅当a=b=c时取等号,∴2a+2b+2c的最小值为2.2.证明:(1)∵a>0,b>0,a+b=1,∴4a+1b=(a+b)4a+1b=4+4ba+ab+1≥5+2

24、4ba·ab=9,当且仅当a2=4b2时,等号成立.(2)(分析法)欲证2a+1+2b+1≤22,只需证2a+1+2b+1+2(2a+1)(2b+1)≤8,∵a>0,b>0,a+b=1,∴只需证(2a+1)(2b+1)≤2,由均值不等式可得(2a+1)(2b+1)≤(2a+1)+(2b+1)2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故不等式2a+1+2b+1≤22成立.3.解:(1)因为

25、x+1

26、+

27、x-2

28、≥

29、(x+1)-(x-2)

30、=3,当且仅当-1≤x≤2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,

31、r是正实数,所以(p2+q2+r2)(12+12+12)≥(p×1+q×1+r×1)2=(p+q+r)2=9,当且仅当p=q=r=1时,等号成立,即p2+q2+r2≥3.4.解:(1)由已知,得f(x)=x-1,x≤2,3x-5,x>2.当x≤2时,由f(x)=x-1≤-1,解得x≤0,此时x≤0;当x>2时,由f(x)=3x-5≤-1,解得x≤43,显然不成立.故f(x)≤-1的解集为M=(-∞,0].(2)证明:当x∈M时,f(x)=x-1,于是x[f(x)]2-x2f(x)=x(x-1)2-x2(x-1)=-x2+x=-x-122+14.令g(x)=-

32、x-122+14,x∈(-∞,0],则函数g(x)在(-∞,0]上是增函数,∴g(x)≤g(0)=0.故当x∈M时,x[f(x)]2-x2f(x)≤0.5.解:(1)由f(x+1)≥0,得m-

33、x-1

34、≥0,显然m>0,则1-m≤x≤1+m.∵f(x+1)≥0的解集为[0,2],∴1+m=2且1-m=0,∴m=1.(2)证明:由(1)可知1a+12b+13c=1,则a+2b+3c=(a+2b+3c)1a+12b+13c=1+2ba+3ca+a2b+1+3c2b+a3c+2b3c+1=3+2ba+a2b+3ca+a3c+3c2b+2b3c≥3+6=9,当且仅当

35、a=2b=3c时等号成立,即a=3,b=32,c=1时等号成立.6.解:(1)当x≥3时,由

36、x-3

37、

38、x-3

39、1,所以1

40、x>1}.(2)因为(a2+1)(b2+1)-(2a2+2b2)=(ab)2+a2+b2+1-2a2-2b2=(ab)2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),又因为a,b∈M,所以a>1,b>1,所以a2>1,b2>1,即a2-1>0,b2-1>0,所以(a2-1)(b2-1)>0,所

41、以原不等式(a2+1)(b2+1)>2a2+2b2成