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时间:2019-06-24
《八年级数学下册第一章三角形的证明4角平分线等腰三角形中四种常用作辅助线的方法学案北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、等腰三角形中四种常用作辅助线的方法【名师点睛】几何图形中添加辅助线,往往能把分散的条件集中,使隐蔽的条件显露,将复杂的问题简单化,例如:“作三线”中的“一线”,作平行线构造等腰(边)三角形,利用截长补短法证线段和、差关系或求角的度数,利用加倍折半法证线段的倍分关系。[方法1]作“三线”中的“一线”1.如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,过A点的直线EF∥BC,且AE=AF,求证:DE=DF.解答:证明:如图,连接AD.∵△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∵EF∥BC,∴AD⊥EF,又AE=AF,∴AD垂直平分EF,∴DE=DF.[方
2、法2]作平行线法2.如图,在△ABC中,AB=AC,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,已知点P,Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图①,当点P为AB的中点时,求证:PD=QD;(2)如图②,过点P作直线BC的垂线,垂足为E,当点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.解答:(1)过P点作PF∥AC交BC于F.∵点P和点Q同时出发,且速度相同,∴BP=CQ.∵PF∥AQ,∴∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠PFB,∴
3、BP=PF,∴PF=CQ.∵∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∠DPF=∠DQC,∴△PFD≌△QCD,∴PD=QD.(2)ED的长度保持不变.理由如下:由(1)知PB=PF.∵PE⊥BF,∴BE=EF.由(1)知△PFD≌△QCD,∴FD=DC,∴ED=EF+FD=BE+DC=BC,∴ED为定值.[方法3]截长补短法3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,D是△ABC外一点,且∠ABD=60∘,∠ACD=60∘求证:BD+DC=AB.解答:证明:延长BD到F,使BF=BA,连接AF,CF,∵∠ABD=60度,∴△ABF为等边三角形,∴AF=AB=AC=BF,∠
4、AFB=60∘,∴∠ACF=∠AFC,又∵∠ACD=60∘,∴∠AFB=∠ACD=60∘∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF.∴BD+DC=BD+DF=BF=AB,即BD+DC=AB.4.如图,在△ABC中,∠BAC=120∘,AD⊥BC于D,且AB+BD=DC,求∠C.解答:在DC上截取DE=BD,连接AE,如图所示,∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADE=90∘,在△ABD和△AED中,AD=AD,∠ADB=∠ADE,DB=DE,∴△ABD≌△AED(SAS),∴AB=AE,∴∠B=∠AEB,又AB+BD=CD,DE=BD,∴AB+DE=CD,而CD=DE+EC,
5、∴AB=EC,∴AE=EC,故设∠EAC=∠C=x,∵∠AEB为△AEC的外角,∴∠AEB=∠EAC+∠C=2x,∴∠B=2x,∠BAE=180∘−2x−2x=180∘−4x,∵∠BAC=120∘,∴∠BAE+∠EAC=120∘,即180∘−4x+x=120∘,解得:x=20∘,则∠C=20∘.[方法4]加倍折半法5.如图,CE.CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC.求证:CD=2CE.解答:证明:过B作BF∥AC交CE的延长线于F,∵CE是中线,BF∥AC,∴AE=BE,∠A=∠ABF,∠ACE=∠F,在△ACE和△BFE中,∠A=∠ABF
6、,∠ACE=∠F,AE=BE,∴△ACE≌△BFE(AAS),∴CE=EF,AC=BF,∴CF=2CE,又∵∠ACB=∠ABC,CB是△ADC的中线,∴AC=AB=BD=BF,∵∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC,∴∠DBC=∠FBC,在△DBC和△FBC中,DB=FB,∠DBC=∠FBC,BC=BC,∴△DBC≌△FBC(SAS),∴DC=CF=2CE.
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