3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量

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1、3.2.1直线的方向向量与平面的法向量研究从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工具在立体几何中的应用.为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？1．直线的方向向量AB直线l上的向量以及与共线的向量叫做直线l的方向向量。●p空间中任意一条直线l的位置可由l上的一个定点A以及l的方向向量确定.那么对直线l上的任意一点P，一定存在唯一的实数t，使得由于垂直于同一平面的直线是互相平行的,所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。２．平面的法向量平面的法向量：如果直线l⊥α，则l的方向向

2、量叫做平面α的法向量，记作⊥α。Al几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有给定一点A和一个向量,那么过点A以为法向量的平面是确定的.ab3．向量在立体几何中的应用baaa练习：4.设分别是直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.l1∥l2l1⊥l25.设分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.α⊥β.α∥β.练习：练习：6.设是直线l的方向向量,是平面α的法向量,根据下列条件,判断l与α的位置关系.l∥α或lα.l⊥α.例1．在正方体ABC

3、D—A1B1C1D1中，求证：是平面ACD1的法向量.证明：设正方体棱长为1，如图建立空间直角坐标系D-xyz则A(1,0,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)所以⊥平面ACD1所以是平面ACD1的法向量.xyz由两个三元一次方程组成的方程组的解是不惟一的，为方便起见，取x=1较合理。其实平面的法向量不是惟一的。例2．已知空间中的三点A(1,-2,0)，B(3,0,1)，C(5,3,3)，求平面ABC的法向量与单位法向量.设平面ABC的法向量为平面的法向量不惟一，合理取值即可。例3．在空间直角坐标系内，设平面α经过点P(x0,y0,z0)，平面α的法向量为=(A,B,C)

4、，M(x,y,z)为平面α内任意一点，求x,y,z满足的关系式。解：例4．证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。已知直线a、b和平面α、β，a,bβ，a∩b=M，a∥α，b∥α，求证：β∥α，证：设直线a、b方向向量分别为，平面α、β的法向量分别为因为a∥α，b∥α因为a,bβ，a∩b=M，所以β∥α练习1.已知分别是直线l1,l2的方向向量,两条件中l1、l2的位置关系是().BA．①平行②平行B．①平行②垂直C．①垂直②平行D．①垂直②垂直2．设平面α的法向量为(1,2,-2)，平面β的法向量为(-2,-4,k)，若α∥β

5、，则k=；若α⊥β，则k=.3．设l的方向向量为(2,m,1)，平面α的法向量为(6,2,3)，若l∥α，则m=；若l⊥α，则m=.4．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明：BD1//平面AEC用空间向量来解决下列题目用空间向量来解决下列题目５．在正方体AC1中，E、F、G、P、Q、R分别是所在棱AB、BC、BB1A1D1、D1C1、DD1的中点，求证：⑴BD1⊥平面EFG⑵平面PQR∥平面EFG。ABCDA1B1C1D1FQEGRP