高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系学案新人教a版

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1、1.2.2　同角三角函数的基本关系学习目标　1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明(难点)．知识点　同角三角函数的基本关系1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)．2．同角三角函数基本关系式的变形(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α．(2)tanα＝的变形公式：sinα＝cos_αtan_α；cosα＝．【预习评价】　(正

2、确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)sin2＋cos2＝1.(　　)(3)对任意的角α，都有tanα＝成立．(　　)提示　(1)×　在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin2α＋cos2α＝1．(2)√　在sin2α＋cos2α＝1中，令α＝可得sin2＋cos2＝1．(3)×　当α＝＋kπ，k∈Z时就不成立．题型一　利用同角三角函数的基本关系求值【例1】　(1)若sinα＝－，且α为第三象限角，则tanα的值等于(　　)A．B．－C．D．－12解析　∵α为第三象限角，

3、∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝．答案　C(2)已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝________．解析　∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，即2sinαcosα＝－<0，又α∈(0，π)，则sinα>0，cosα<0，∴α∈(，π)，故sinα－cosα＝＝，可得sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．答案　－规律方法　求三角函数值的方法(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解(2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键

4、在于运用方程的思想及(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．【训练1】　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．解　∵cosα＝－<0，且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角，(1)当α是第二象限角时，则sinα＝＝＝，12tanα＝＝＝－．(2)当α是第三象限角时，则sinα＝－＝－，tanα＝.互动探究　题型二　齐次式的求值问题【探究1】　已知tanα＝2，求的值．解　＝＝－．【探究2】　已知tanα＝2，求．解　＝＝－．【探究3】　已知tanα＝2，求的值．解　＝＝＝．【探究4

5、】　已知tanα＝2，求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．解　2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝＝＝＝．【探究5】　已知＝，求sinαcosα的值．解　方法一　由＝得cosα＋2sinα＝15cosα－5sinα，即sinα＝2cosα，∴sinαcosα＝＝＝．方法二　由方法一中sinα＝2cosα可得tanα＝2，∴sinαcosα＝＝＝．规律方法　已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法12(1)关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之

6、和相同，设为n次，将分子分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．题型三　三角函数式的化简与证明【例2】　(1)化简：sin2αtanα＋＋2sinαcosα；解　原式＝sin2α·＋cos2α·＋2sinαcosα＝＝＝(2)已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：sin2β＝2sin2α－1．证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2

7、β＋2所以＋1＝2(＋1)，通分可得＝即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2(1－sin2α)，即sin2β＝2sin2α－1．规律方法　1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．2．含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论；(2

8、)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．【训练2】　(1)化简：；12解　原式＝＝＝＝＝1．(2)求证：＝．证明　∵右边＝＝＝＝＝＝左边，∴原等式成