高中数学第一章三角函数1.2角的概念的推广学案北师大版

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1、§2　角的概念的推广学习目标　1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(重点).2.掌握终边相同的角的表示方法(难点)．知识点1　角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：类型定义正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角如果一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合，称这样的角为零角【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时

2、针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2　象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示　锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示　不一定．如120°是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3　终边相同的角所有与

3、角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

4、β＝α＋k·360°，9k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】　(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一　角的概念的推广【例1】　写出下图中的角α，β，γ的度数．解　要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法　1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1

5、)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】　(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10min，分针转了________．解析　(1)α＝－(180°－30°)＝－150°9β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针转过了周角的，即－60°.答案　(1)－150°　210°　(2)－60°题型二　终边相同的角【例2】　已知α＝－1910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它

6、是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解　(1)－1910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法　将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负

7、角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】　写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解　终边在直线OM上的角的集合为M＝{α

8、α＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{α

9、α＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{α

10、α＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{α

11、α＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α

12、α＝45°＋n·180°，n∈Z}．同理可得终边在直线ON上的角的集合为{α

13、α＝60°＋n·180°，n∈Z}，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为{α

14、45°＋n·180°≤α≤60°＋n·180°，n∈Z}．【探究1】　在四个角－20°，－400°，－20

15、00°，1600°中，第四象限角的个数是(　　)A．0B．1C．2D．39解析　－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案　C【探究2】　写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解　根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加