高中数学第三章三角函数章末复习提升学案湘教版

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1、第三章三角函数1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式8能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使

2、用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力提高的目的．4．三角函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR，(k∈Z)值域[－1,1][－1,1](－∞，＋∞)最值x＝2kπ＋(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1无最大、最小值周期性周期T＝2kπ＋2π(k∈Z)周期T＝2kπ＋2π(k∈Z)周期T＝kπ＋π(k∈Z)奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2kπ－，2kπ＋(k∈Z)上都是增函数；在

3、2kπ＋，2kπ＋(k∈Z)上都是减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上都是减函数在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上都是增函数对称性轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ＋，k∈Z；中心对称图形，对称中心(kπ，0)k∈Z轴对称图形，对称轴方程是x＝kπ，k∈Z；中心对称图形，对称中心k∈Z中心对称图形，对称中心(k∈Z)85.三角函数的图象与性质的应用(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点

4、、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答.题型一　任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域．例1　求函数y＝＋的定义域．解　由题意知即如图，结合三角函数线知：解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴函数

5、的定义域为.跟踪演练1　设f(x)＝.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域及取最大值时x的值．解　(1)由1－2sinx≥0，根据正弦函数图象知：定义域为{x

6、2kπ＋π≤x≤2kπ＋，k∈Z}．(2)∵－1≤sinx≤1，∴－1≤1－2sinx≤3，∵1－2sinx≥0，∴0≤1－2sinx≤3，8∴f(x)的值域为[0，]，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f(x)取得最大值．题型二　同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意

7、掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数(即正余互变)；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．例2　已知＝－4，求(sinθ－3cosθ)·(cosθ－sinθ)的值．解　方法一　由已知＝－4，∴2＋tanθ＝－4(1－tanθ)，解得t

8、anθ＝2.∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝4sinθcosθ－sin2θ－3cos2θ＝＝＝＝.方法二　由已知＝－4，解得tanθ＝2.即＝2，∴sinθ＝2cosθ.∴(sinθ－3cosθ)(cosθ－sinθ)＝(2cosθ－3cosθ)(cosθ－2cosθ)＝cos2θ＝＝＝.跟踪演练2　已知α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；8(2)把用tanα表示出来，并求其值．解　(1)方法一　联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形内角，

9、∴sinα＞0，∴∴tanα＝－.方法二　∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝2，即1＋2s