高中数学第八章解三角形8.2余弦定理（二）学案湘教版

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1、8.2　余弦定理(二)[学习目标]　1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题.[知识链接]1.以下问题不能用余弦定理求解的是.(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.(2)已知两角和一边，求其他角和边.(3)已知一个三角形的二条边及其夹角，求其他的边和角.(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案　(2)2.利用余弦定理判断三角形的形状正确的是.(1)在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则△ABC为直角三角形.(2)

2、在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC为钝角三角形.答案　(1)(3)[预习导引]1.正弦定理及其变形(1)＝＝＝2R.(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.2.余弦定理及其推论(1)a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(2)cosA＝；cosB＝；cosC＝.(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3、⇔C为锐角.103.三角变换公式(1)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；(2)cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；(3)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.要点一　正弦、余弦定理的综合应用例1　如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长.解　在△ABD中，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，设BD＝x，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos

4、∠BDA，∴142＝102＋x2－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16.∵AD⊥CD，∠BDA＝60°，∴∠CDB＝30°.在△BCD中，由正弦定理得＝，∴BC＝＝8.规律方法　余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.跟踪演练1　在△ABC中，内角A，B，C的对

5、边长分别为a，b，c，已知a2－c2＝2b，且sinAcosC＝3cosAsinC，求b.解　方法一　在△ABC中，∵sinAcosC＝3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有a·＝3·c，化简并整理得2(a2－c2)＝b2.又由已知a2－c2＝2b，∴4b＝b2.解得b＝4或b＝0(舍).10方法二　由余弦定理得：a2－c2＝b2－2bccosA.又a2－c2＝2b，b≠0.所以b＝2ccosA＋2.①又sinAcosC＝3cosAsinC，∴sinAcosC＋cosAsinC＝4cosAsinC，s

6、in(A＋C)＝4cosAsinC，即sinB＝4cosAsinC，由正弦定理得sinB＝sinC，故b＝4ccosA.②由①②解得b＝4.要点二　利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式例2　在△ABC中，有(1)a＝bcosC＋ccosB；(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA；这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.证明　方法一　(1)由正弦定理得b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴bcosC＋ccosB＝2RsinBcosC＋2RsinCcosB＝2R(sinBcosC＋

7、cosBsinC)＝2Rsin(B＋C)＝2RsinA＝a.即a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.方法二　(1)由余弦定理得cosB＝，cosC＝，∴bcosC＋ccosB＝b·＋c·＝＋＝＝a.∴a＝bcosC＋ccosB.同理可证(2)b＝ccosA＋acosC；(3)c＝acosB＋bcosA.规律方法　(1)证明三角恒等式关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左；左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三

8、角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.跟踪演练2　在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，求证：＝.10证明　方法一　∵左边＝＝，右边＝＝，∴等式成立.方法二　因为右边＝＝＝＝左边.∴等式成立.要点三　利用正弦、余弦定理判断三角形形状例3　在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，且sinA＝2si