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1、应用数理学院应用数学学科部(AdvancedMathematics)高等数学第五章定积分5.1定积分的概念5.2定积分的性质5.3微积分基本公式5.4定积分的计算5.5广义积分5.6定积分的几何应用5.7定积分的物理应用下面图形的面积是什么？定积分的概念一：背景来源——面积的计算所围成的平面图形.引例一求曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线x轴与两条直线矩形面积用矩形面积之和近似取代曲边梯形面积曲边梯形面积．五个小矩形十个小矩形思想:以直代曲显然,小矩形越多,矩形面积之和越接近应用极限的思想,分四步求面积A.(1
2、)分割(2)取近似长度为为高的小矩形,面积近似代替任意用分点(3)求和这些小矩形面积之和可作为曲边梯形面积A的近似值.(4)求极限为了得到A的精确值,分割无限加细,取极限,形的面积:极限值就是曲边梯即小区间的最大长度设某物体作变速直线运动,已知速度是时间间隔的一个连续函数,求物体在这段时间内所经过的路程.引例二求变速直线运动的路程思路把整段时间分割成若干小段,每小段上速度看作不变,求出各小段的路程再相加,得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．(3)求和(4)取极限路程的精确值(2)取近似
3、(1)分割表示在时间区间内走过的路程.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似,求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊结构的和式的极限设函数f(x)在[a,b]上有界,定义5.1把区间[a,b]分成n个小区间,各小区间长度依次为一点作乘积如果不论对[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干个分点(2)在各小区间上任取(3)并作和(4)记被积函数被积表达式记为积分和怎样的分法,怎样的取法,只要当和S总趋于确定的极限I,称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分.积分下限积分上限积分变量[
4、a,b]称为积分区间也不论在小区间上点面积路程说明：如果f(x)在[a,b]上的定积分存在,f(x)在[a,b]上可积,否则,称f(x)在[a,b]上不可积.则称十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。注意：积分值仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的字母无关.定义中区间[a,b]的分法和的取法是任意的.今后将经常利用定积分与变量记号无关性进行推理.(2)(
5、1)(3)可积存在,(4)可积某一特殊分割和特殊取点法,极限存在.实际上任意分割及在上任意方法取点,极限都存在,特殊和式的极限极限过程是定理5.1(定积分的存在定理)有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且最多只有(1)若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积.则f(x)在区间[a,b]上可积.(3)若函数f(x)在区间[a,b]上单调，定积分的几何意义曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值几何意义取负号.它是介于x轴、函数f(x)的
6、图形及两条直线x=a,x=b之间的各部分面积的代数和.在x轴上方的面积取正号;在x轴下方的面积例求解物理意义t=b所经过的路程s.oxy作直线运动的物体从时刻t=a到时刻定积分表示以变速例1利用定义计算定积分解将[0,1]n等分,分点为小区间的长度取解原式例2将和式极限表示成定积分.注:原式也可表示成例3设函数f(x)在区间[0,1]上连续,且取正值.试证证由指数与对数的连续性,有作业P205习题5.12由定积分的几何意义(面积的代数和)也可得.奇、偶函数在对称区间上的定积分性质且有则则
