向量组的极大无关组

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第3.4节向量组的极大线性无关组线性代数 主要内容:一．等价向量组二．向量组的极大线性无关组三．向量组的秩与矩阵秩的关系 一、等价向量组定义1：如果向量组中的每一个向量都可以由向量组线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。若同时向量组B也可以由向量组A线性表示，就称向量组A与向量组B等价。即 自反性：一个向量组与其自身等价；对称性：若向量组与等价，则和等价；传递性：与等价,与等价，则与等价。 定理：设与是两个向量组，如果(2)则向量组必线性相关。推论1：如果向量组可以由向量组线性表示，并且线性无关，那么推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。(1)向量组线性表示；可以由向量组 二、向量组的极大线性无关组定义2:注:（1）只含零向量的向量组没有极大无关组.简称极大无关组。对向量组A，如果在A中有r个向量满足：（2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话）线性无关。（1）那么称部分组为向量组的一个极大线性无关组。（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。（3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性表示 例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以组成的部分组是极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 极大无关组的一个基本性质：任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。又，向量组的极大无关组不唯一，而每一个极大无关组都与向量组等价，所以：向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。由等价的线性无关的向量组必包含相同个数的向量，可得一个向量组的任意两个极大无关组等价，且所含向量的个数相同。定理： 三、向量组的秩与矩阵秩的关系定义3：向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩,记作例如：向量组的秩为2。1.向量组的秩 （4）等价的向量组必有相同的秩。关于向量组的秩的结论：（1）零向量组的秩为0。（2）向量组线性无关向量组线性相关（3）如果向量组可以由向量组线性表示，则注：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。 2.矩阵的秩2.1.行秩、列秩、矩阵的秩把矩阵的每一行看成一个向量，则矩阵可被认为由这些行向量组成，把矩阵的每一列看成一个向量，则矩阵可被认为由这些列向量组成。定义4：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩;矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。例如：矩阵的行向量组是 可以证明，是A的行向量组的一个极大无关组，因为，由即可知即线性无关；而为零向量，包含零向量的向量组线性相关，线性相关。所以向量组的秩为3，所以矩阵A的行秩为3。 矩阵A的列向量组是可以验证线性无关，而所以向量组的一个极大无关组是所以向量组的秩是3，所以矩阵A的列秩是3。 问题：矩阵的行秩＝矩阵的列秩引理1：矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。（列）（列）引理2：矩阵的初等行变换不改变矩阵的列秩。（列）（行） 综上，矩阵的初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。定理：矩阵的行秩＝矩阵的列秩证：任何矩阵A都可经过初等变换变为形式，而它的行秩为r，列秩也为r。又，初等变换不改变矩阵的行秩与列秩，所以，A的行秩＝r＝A的列秩定义5：矩阵的行秩＝矩阵的列秩，统称为矩阵的秩。记为r(A),或rankA，或秩A。推论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。 2.2矩阵秩的求法.行阶梯形矩阵：例如：特点：(1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 行最简形矩阵（行标准形矩阵）：在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。例如：注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 例1：对矩阵作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.解: 解：看行秩例2：求上三角矩阵的秩 看的线性相关性：线性无关，维数增加后得到的依然线性无关，而与都线性相关，所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数 结论：行阶梯形矩阵的秩＝非零行的行数证明：只要证明在行阶梯形矩阵中那些非零的行是线性无关就行了。设A是一阶梯形矩阵，不为零的行数是r。因为初等列变换不改变矩阵的秩，所以适当地变换列的顺序，不妨设 其中显然，左上角的r个r维行向量线性无关，当分量增加为n维时依然无关，所以矩阵A的非零行的向量是线性无关的。加上任一零行即相关，所以矩阵A的秩＝矩阵A的行向量组的秩＝非零行的行数求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成行阶梯形矩阵，则行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原来矩阵的秩。例3:求A的秩。 由阶梯形矩阵有三个非零行可知 定理：矩阵A的初等行变换不改变A的列向量组的线性相关性和线性组合关系.此定理说明了:(1)若则向量组A线性相关向量组B线性相关(2)此定理的证明见课本86-87页。或 求向量组的秩、极大无关组的步骤.（1）向量组作列向量构成矩阵A。（2）初等行变换（行最简形矩阵）r(A)=B的非零行的行数（3）求出B的列向量组的极大无关组（4）A中与B的列向量组的极大无关组相对应部分的列向量组即为A的极大无关组。 例4：向量组求向量组的秩和一个极大无关组。解： 又因为B的1，2，5列是B的列向量组的一个极大无关组所以，是的一个极大无关组。考虑：是否还有其他的极大无关组？与 例5：求向量组的一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。解：设则B的1，2列为极大无关组，且所以为所求的一个极大无关组，且 2.3矩阵秩的性质(1)等价的矩阵，秩相同。(2)任意矩阵有(3)任何矩阵与可逆矩阵相乘，秩不变。可逆，有(4)当AB=0时，有 3.矩阵的秩与行列式的关系定理:n阶方阵A，即A为可逆矩阵（也称为满秩矩阵）A的n个行（列）向量线性无关A的n个行（列）向量线性相关