实二次型及其标准形

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1、作业讲评一.2.若是A的特征值,则是A*的特征值.二.1.六.设A2–3A+2E=0,证明A的特征值只能取1或2证明:若是A的特征值,则2-3+2是A2-3A+2E的特征值,即2-3+2是零矩阵O的特征值,从而2-3+2=0,故只能取1或者2.七.已知3阶矩阵A的特征值为1,2,-3,求解:实二次型及其标准形一.实二次型及其矩阵表示实二次型定义1.设x1,x2,…,xn是n个变量，称关于x1,x2,…,xn的二次多项式:为这n个变量的一个实二次型。其中ai,j皆是实数,并约定当ij时ai,j=aj,i2.实二次型的矩阵表示例1.把下列二次型表示成矩阵的形式解：二.

2、矩阵的合同变换与二次型1.线性变换与二次型设f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一个实二次型,其中A是一个n阶实对称方阵,XT=(x1,x2,…,xn)设P是一个n阶实可逆方阵，在线性变换X=PY之下，核心问题:如何选择可逆方阵P,使得:即,如何选择可逆方阵P,使得:2.矩阵的合同变换定义2.设A和B是两个n阶实对称方阵，若存在一个n阶的实可逆方阵P，使得B=PTAP则称矩阵B与A合同，或称B与A相和。合同关系:自反性;对称性;传递性.等价关系三.实二次型在正交变换下的标准形定理：若A是一个n阶实对称方阵，则存在n阶正交矩阵P，使得PTAP成为一个对角矩阵=diag(1,2,

3、…,n)其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形;而把关于变量Y的二次型1y12+2y22+…+nyn2称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，其中X=PY。证明：（归纳法）显然，当n=1时定理成立。设n=k时定理成立;下面证明n=k+1定理依然成立。设1是实对称方阵A的一个特征值，p1是A的与之对应的一个单位特征向量。选取另外k个k+1维向量q1,q2,…,qk，使得p1,q1,q2,…,qk构成Rk+1空间的一组标准正交基。记P1=(p1,q1,q2,…,qk),显然P1是一个k+1阶的正交方阵。注意：AP1=(1p1,Aq1

4、,Aq2,…,Aqk)记：由于P1TAP1=仍是一个实对称方阵,所以*必然一个k维0行向量，A1是一个k阶实对称方阵。依据归纳假设，存在k阶正交方阵Q,使得QTA1Q=diag(2,2,…,k+1)构造k+1阶正交方阵显然有：=diag(1,2,…,k+1)记P=P1P2，显然P依然是一个k+1阶正交方阵满足PTAP=diag(1,2,…,k+1)证毕推论:设A为n阶实对称方阵,是A的特征方程的k重根,则与对应的、线性无关的特征向量恰有k个。也就是说方阵A-E的秩恰好等于n–k.例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型.解：首先把二次型写成矩阵的形式然后求该对

5、称矩阵的特征值该方阵的特征值为3，3，6，6;在正交变换X=PY之下该方阵的标准形为diag(3,3,6,6);该二次型的标准形为:3y12+3y22+6y32+6y42.为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵A的特征向量.解方程组：得方阵A关于特征值3的特征向量:解方程组：得方阵A关于特征值6的特征向量:最后利用Schmidt正交化过程，把所得到的特征向量正交化:取取令:例3.由方程-7x2–y2–z2+8xy+8xz+16yz=1确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正交变换之下把它转化为标准形.解：首先把方程写成矩阵的形式：然后计算该方阵的特征值.,该方阵的特征值为：9-9-9计

6、算方阵与特征值9对应的特征向量计算方阵与特征值-9对应的特征向量最后把所得到的特征向量正交化:选取:令:即:令,则原方程在正交变换之下转化为:即,也就是：由于正交变换不改变几何图形的形状和大小,故原方程所表示的二次曲面是一个旋转双曲面。