工业机器人运动学-3逆运动学

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1、第三章工业机器人的运动学-3主要内容数学基础——齐次坐标变换机器人运动学方程的建立（正运动学）机器人逆运动学分析（逆运动学）三、逆运动学方程（InverseKinematicEquations）3.1引言3.2逆运动学方程的解3.3斯坦福机械手的逆运动学解3.4欧拉变换的逆运动学解3.5RPY变换的逆运动学解3.6球坐标变换的逆运动学解3.7本章小结3.1引言(Introduction)所谓逆运动学方程的解，就是已知机械手直角坐标空间的位姿（pose）T6，求出各节变量θnordn。T6=A1A2A3A4A5A6（3.1）逆运动

2、学方程解的步骤如下：（1）根据机械手关节坐标设置确定AnAn为关节坐标的齐次坐标变换，由关节变量和参数确定。关节变量和参数有：an－连杆长度;αn－连杆扭转角;dn－相邻两连杆的距离;θn－相邻两连杆的夹角。对于旋转关节θn为关节变量，而对于滑动关节dn为关节变量。其余为连杆参数，由机械手的几何尺寸和组合形态决定。（2）根据任务确定机械手的位姿T6T6为机械手末端在直角坐标系（参考坐标或基坐标）中的位姿，由任务确定，即式（2.37）给出的表达式T6=Z-1XE-1确定。它是由三个平移分量构成的平移矢量P（确定空间位置）和三个旋转

3、矢量n，o，a（确定姿态）组成的齐次变换矩阵描述。（3）由T6和An（n＝1，2，…，6）和式（4.1）求出相应的关节变量θn或dn。3.2逆运动学方程的解（Solvinginversekinematicequations）根据式（3.1）T6=A1A2A3A4A5A6分别用An（n＝1，2，…，5）的逆左乘式（3.1）有A1-1T6=1T6(1T6=A2A3A4A5A6)（3.2）A2-1A1-1T6=2T6(2T6=A3A4A5A6)（3.3）A3-1A2-1A1-1T6=3T6(3T6=A4A5A6)（3.4）A4-1A3

4、-1A2-1A1-1T6=4T6(4T6=A5A6)（3.5）A5-1A4-1A3-1A2-1A1-1T6=5T6(5T6=A6)（3.6）根据上述五个矩阵方程对应元素相等，可得到若干个可解的代数方程，便可求出关节变量θn或dn。3.3斯坦福机械手的逆运动学解（InversesolutionofStanfordmanipulator）在第三章我们推导出StanfordManipulator的运动方程和各关节齐次变换式。下面应用式（3.2）～（3.6）进行求解：这里f11=C1x＋S1y(3.10)f12=-z(3.11)f13=

5、-S1x＋C1y(3.12)其中x=[nxoxaxpx]T，y=[nyoyaypy]T，z=[nzozazpz]T由前节得到的斯坦福机械手运动学方程式（2.48）为C2(C4C5C6-S4S6)-S2S5C6-C2(C4C5S6+S4C6)+S2S5S6S2(C4C5C6-S4S6)+C2S5C6-S2(C4C5S6+S4C6)-C2S5S61T6=S4C5C6+C4C6-S4C5S6+C4C600C2C4S5+S2C5S2d3S2C4S5-C2C5-C2d3S4S5d2（3.13）01比较式（3.9）和式（3.13）矩阵中的第

6、三行第四列元素相等得到f13（p）=d2（3.14）或-S1px＋C1py=d2（3.15）令px=rcosΦ（3.16）py=rsinΦ（3.17）其中（3.18）（3.19）将式（3.16）和式（3.17）代入式（3.15）有sinΦconθ1－conΦsinθ1＝d2/r（0

7、变量θ1的值（3.23）根据同样的方法，利用式（3.9）和式（3.13）矩阵元素相等建立的相关的方程组，可得到其它各关节变量如下：（3.24）（3.25）（3.26）（3.27）（3.28）注意：在求解关节变量过程中如出现反正切函数的分子和分母太小，则计算结果误差会很大，此时应重新选择矩阵元素建立新的方程组再进行计算，直到获得满意的结果为止。同样，如果计算结果超出了机械手关节的运动范围，也要重新计算，直到符合机械手关节的运动范围。由于机械手各关节变量的相互耦合，后面计算的关节变量与前面的关节变量有关，因此当前面关节变量的计算结果

8、发生变化时，后面关节变量计算的结果也会发生变化，所以逆运动方程的解不是唯一的，我们应该根据机械手的组合形态和各关节的运动范围，经过多次反覆计算，从中选择一组合理解。由此可见，求解机械手的逆运动方程是一个十分复杂的过程。3.4欧拉变换的逆运动学解（Inverse