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1、微积分A(3)综合测试解答2⎧xy⎪,(,)(0,0)xy≠421.设fxy(,)=⎨xy+，试讨论f(,)xy在(0,0)点的连续性和偏导数.⎪⎩0,(,)xy=(0,0)22kk解：取yk==xfxk,(,)x2.limfxy(,)22随k而异，故limf(,)xy不存1+k(,)(0,0)xy→yk=x1+k(,)(0,0)xy→在，f(,)xy在(0,0)点不连续.fxf(0+Δ,0)−(0,0)00−f′(0,0)=lim=lim=0.同理f′(0,0)=0.xyΔ→x0ΔxΔ→x0Δx∂zz∂2.设F具有连续的偏导数，且Fxyyzzx(,,)0−−−=，求+.∂x∂y解：方法一，代
2、公式：∂zFFF′′′⋅1(+⋅−−+1)F′F′x1313=−=−=,∂⋅xFF′′(1)−+FFF′′′⋅1−+z2323∂zFy′FFF12′⋅−+⋅(1)′′11−F2′=−=−=.∂⋅xFF′′(1)−+FFF′′′⋅1−+z2323∂∂zz故+=1.∂∂xy方法二，将Fxyyzzx(,,)0−−−=两边对x求偏导,视z为x,y的函数，有∂∂zz⎛⎞FF′′+⋅−+⋅−=()F′⎜⎟10,123∂∂xx⎝⎠∂zFF′′−∂zFF′′−∂zz∂3112解得=，类似可得=，从而+=1.∂−xFF′′∂−xFF′′∂∂xy32322z∂zz∂3.设zzxy=(,)由zx+=ey确定，求,.
3、∂x∂∂xy∂zz解：求，方法一，代公式.令Fxyzz(,,)=+−exy.∂x∂−zyFxyz′(,,)yx=−=−=.zz∂+xF′(,,)xyz1e1e+zz方法二，将zx+=ey两边对x求导，将z看成x,y的函数：∂∂zzz∂zy+=e,y⇒=.z∂∂xx∂+x1ezz∂z(1e)1+−+y(0e)22∂z∂∂zzy⎛⎞⎛∂∂⎞∂y求方法，==⎜⎟⎜⎟=.zz2∂∂xy∂∂xy∂∂yx⎝⎠⎝∂y1e+⎠(1+e)2z∂zx∂zx1ey为此，还要先计算出=，代入上式，有=−.zzz3∂+y1e∂∂xy1e(1e)++1224.设平面22xyc++−=z30是曲面zxy=+的切平面，求常数
4、c的值.2122解：已知平面的法向量为{2,2,c},曲面zxy=+在其上点(,,)xyz的法向量为{−−x,2,1y}，2−−xy2121两向量应平行,故c≠0，且==,,得xy=−=−.代入平面方程得22ccc4236−−+−=cz30，得z=+.2cccc122213又由zxy=+，有z=+=，从而有c=−1.2222ccc225.造一个长方形露天水池，容积一定为v，四侧面造价为a元/米，底面的造价为b元/米，求长x、宽y、高z的值，使四侧面与底面造价之和为最小.解：四侧面与底面造价之和S=+2(axzyz)+bxy,约束条件为xyz=v和xyz,,0>，命Fxyz(,,,)2(λ=+a
5、xzyzbxy)++−λ(xyzv)，∂F=++=20azbyλyz,∂x∂F=++=20azbxλxz,∂y∂F=+2(axy)+=λyx0,∂z∂F=−=xyzv0.∂λ1112323423ab⎛⎞2ab⎛⎞2av3⎛⎞bv解得xy==−,,z=−λ=−⎜⎟.最后可得xy==⎜⎟，z=⎜⎟.2λλ⎝⎠v⎝⎠b⎝⎠4a2226.设D是由双曲线xy−=1及直线yy=0,=1所围成的平面区域，求∫∫yxdσ.D解：画出D（图略），先x后y+232211+y21222xyyddσ=xydx=+yyy()1d=()421−.∫∫∫01∫−+y23∫015D若先y后x，则分三段，显然麻烦−111121
6、2222xydddσ=+xxyyddddxxyy+xxyy.∫∫∫−−−21∫xx22∫1∫0∫1∫−1D1yyyy17.计算2deyxxddexyx+d.∫∫111∫∫y422解：先画出二重积分对应的积分区域D，再交换积分次序为先y后x：y111xxyx=1xx⎡⎤e32x1原式==∫∫∫11ddxx2yxedyx=2x=−=−−=∫1(ee)dxxxxx⎢⎥(ee)e−e.222⎣⎦2812221l++yyxn(1++x)228.计算dσ，其中Dx=+{(,)yxyy≤1,≥0.}∫∫221++xyD22yln(xx++1)yxln(++1x)解：D关于y轴对称，函数为x的奇函数，故d0σ
7、=.22∫∫221++xy1++xyD1+y对于dσ用极坐标，∫∫221++xyD211++yrsinθ1rr+sinθddσ=rrdθ=dr∫∫11++xy22∫∫+r2∫01+r2DD2ππ11rrsinθππ=+=drθθdddlrn2+2(1)−.∫∫0011++rr22∫∫002429.设Ω是由曲线yz==2,x0绕z轴旋转一周而成的曲面与二平面zz==2,8所围的空间有22界闭区域，计
