高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法学案

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1、2．2.1　综合法和分析法综合法[提出问题]阅读下面证明过程，回答问题．求证：π是函数f(x)＝sin的一个周期．证明：因为f(x＋π)＝sin＝sin＝sin＝f(x)，所以由周期函数的定义可知，π是函数f(x)＝sin的一个周期．问题1：本题的条件和结论各是什么？提示：条件：f(x)＝sin；结论：π是f(x)的一个周期．问题2：本题的证明顺序是什么？提示：从已知利用诱导公式到待证结论．[导入新知]1．综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．2．综合法的

2、框图表示―→―→―→…―→(P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论)[化解疑难]综合法的特点(1)综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理实际上是寻找已知条件的必要条件．(2)综合法从命题的条件出发，利用定义、公理、定理和运算法则，通过演绎推理，一步一步完成命题的证明.分析法[提出问题]阅读下面证明过程，回答问题．13求证：＋≥2＋.证明：要证原不等式成立，只需证(＋)2≥(2＋)2，即证2≥2，该式显然成立，因此原不等式成立．问题1：本题证明从哪里开始？提示：从结论开始．问题2：证明思路是什么？提示：寻求每一步成立

3、的充分条件．[导入新知]1．分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．2．分析法的框图表示―→―→―→…―→[化解疑难]分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是寻找使结论成立的充分条件．(2)分析法从命题的结论入手，寻求结论成立的条件，直至归结为已知条件、定义、公理、定理等．综合法的应用[例1]　已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)

4、＋c(a2＋b2)＞6abc.[证明]　∵a，b，c是正数，∴b2＋c2≥2bc，∴a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc.③∵a，b，c不全相等，∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同时取到“＝”．13∴①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.[类题通法]综合法的证明步骤(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．特别地，

5、根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．[活学活用]已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，求证：＋≥9.证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2＝5＋4＝9.当且仅当＝，即a＝2b时“＝”成立.分析法的应用[例2]　设a，b为实数，求证≥(a＋b)．[证明]　当a＋b≤0时，∵≥0，∴≥(a＋b)成立．当a＋b>0时，用分析法证明如下：要证≥(a＋b)，只需证()2≥2，即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴≥(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．1

6、3[类题通法]分析法的证明过程及书写形式(1)证明过程：确定结论与已知条件间的联系，合理选择相关定义、定理对结论进行转化，直到获得一个显而易见的命题即可．(2)书写形式：要证……，只需证……，即证……，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立．[活学活用]在锐角△ABC中，求证：tanAtanB＞1.证明：要证tanAtanB＞1，只需证＞1.∵A，B均为锐角，∴cosA＞0，cosB＞0.即证sinAsinB＞cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB＜0，只需证cos(A＋B)＜0.∵△ABC为锐角三角形，∴90°＜A＋B＜180

7、°，∴cos(A＋B)＜0，因此tanAtanB＞1.综合法和分析法的综合应用[例3]　已知△ABC的三个内角A，B，C为等差数列，且a，b，c分别为角A，B，C的对边，求证：(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.[证明]　法一：(分析法)要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，即证＋＝，只需证＋＝3，化简，得＋＝1，即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°，13所以cosB＝＝，即a2＋c2－b2＝ac成立．

8、∴(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．法二：(综合法)因为△ABC的三内角A，B，C成等差数列，所以B＝60°.由