正定二次型和正定矩阵

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1、11§4正定二次型和正定矩阵一、基本概念二、正定矩阵的充分必要条件三、正定矩阵的性质22一、基本概念定义设A为实n阶对称矩阵，如果对于任意非零向量X，二次型f=XTAX均为正数，则称二次型f为正定的，其矩阵A称为正定矩阵.定义如果对于任意向量X，二次型f=XTAX均为非负(非正)数，则称二次型f为半正(负)定的，其矩阵A称为半正(负)定矩阵.定义如果实二次型f=XTAX对于某些向量X为正数,并且对于对于某些向量X为负数,则称二次型是不定的.33例44二、正定矩阵的充分必要条件定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是其特征值都是正数.证

2、明设实对称矩阵A的特征值都是正数.存在正交矩阵Q,使得QTAQ=,为对角矩阵,其对角线元素为,对于令即,显然又故这就证明了条件的充分性.5设A是正定矩阵,而是其任意特征值,X是属于的特征向量,则有于是必要性得证.推论若A是正定矩阵,则

3、A

4、>0.证明566定理实对称矩阵A负定的充分必要条件是其特征值都是负数.77例判断下列矩阵是否为正定矩阵解8899>>E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);A:=matrix([[6,-2,2],[-2,5,0],[2,0,7]]);f:=det(lambda*

5、E-A);f_factor:=factor(f);1010例设A为n阶实对称矩阵,且满足证明A为正定矩阵.证明设为A的特征值,则为的特征值,故1111无实根.A的特征值为1,n重故A是正定矩阵.1212定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同.证明充分性.设实对称矩阵A合同与E,即存在可逆矩阵C,使得对于任意向量X≠O,由于C可逆,可从解出Y≠O,于是故A是正定的.必要性.设实对称矩阵A是正定的.由于A是实对称的,A合同于一个对角矩阵,其对角线元素是A的特征值由于A是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵

6、合同,故A合同于单位矩阵.13定理实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.证明设A=PTP,P可逆.对于任意,由于P可逆,PX≠o,故设A正定,则A合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得A=PTEP=PTP.14例A正定,B实对称,则存在可逆矩阵R,使得RTAR和RTBR同时为对角形.证明存在P,使得PTAP=E,PTBP实对称,存在正交矩阵Q,使得QTPTBPQ=D为对角形,令R=PQ,则为对角形.15例A,B正定,AB正定的充分必要条件是A,B可交换.证明必要性设AB正定,则AB对称,充分性设A,B可交换

7、,则AB是实对称矩阵,A正定,A=CCT,AB=CCTB~CTBC,CTBC是正定矩阵,特征值为正,AB特征值也为正数,故AB正定.1616定理n阶实对称矩阵A负定的充分必要条件是它与负单位矩阵合同.1717为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进定义给定实对称矩阵则其前s行前s列元素组成的行列式称为A的顺序主子式.即1818的行列式.定理实对称矩阵正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零.证明必要性设A是正定矩阵,则对于非零向量即Ai为正定矩阵,故其行列式1919充分必要性.设矩阵A的所有顺序主子式>0.要证明A是正定矩阵.

8、用数学归纳法证明.n=1时显然:设对于n－1结论成立.An-1正定,存在n-1阶非退化矩阵G,使得令则再令20202121令令则于是A与单位矩阵合同,故A是正定的.推论n阶实对称矩阵A负定顺序主子式Ai满足2222例用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性.解故A正定.2323实对称矩阵A正定的充分必要条件是1.其特征值都是正数.2.A合同于3.可逆.4.A的顺序主子式全是正数.5.A的主子式全是正数.2424例判断下列二次型是否正定:2526例t在什么范围取值时二次型是正定二次型?解2728定义实对称矩阵A的第行和第列的元素组成的行列

9、式称为主子式.例如是2阶主子式.其中只有是2阶顺序主子式.2929实对称矩阵A半正定的充分必要条件是1.其特征值都是非负数.2.A合同于3.A的正惯性指数p=r.4.A的所有主子式非负.30定理实对称矩阵A半正定的充分必要条件是所有主子式非负.证明设A半正定.则A+tE正定.其所有主子式个.31设A的所有主子式非负.考虑矩阵其顺序主子式是A的阶主子式之和,故正定,对于任意非零向量X,令得故A半正定.32例但A并非半正定，事实上，A对应的二次型主子式顺序主子式3333三、正定矩阵的性质1.若A为正定矩阵,则

10、A

11、>0,A可逆.2.若

12、A为正定矩阵,则A-1也是正定矩阵.证明A为正定矩阵,其全部特征值为正数,A-1的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故A-1正定.3.正定矩阵的对角线元素都是正数.4.A为正定矩阵,Ak也是正定矩阵.5.A,B为同阶正定矩阵,则A+B是正定矩阵.