讲义_第4章_隶属函数的确定方法

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1、数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊数学理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊数学方法解决各种实际问题的关键。然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。其原因就在于，一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映。隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的

2、主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章将选择4种具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。4.1直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共识的客观模糊现象，或者用于难

3、于采集数据的情形。例1考虑描述空气温度的模糊变量或语言变量。如果将描述变量取为“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理解，可以规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1所示。很冷冷凉爽适宜热10.5051015202530图1空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描述这三个概念的模糊集的隶属函数如图2所示。-1-数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法慢速中速快速10.5035557595图2汽车行驶速度的隶属函数虽然

4、直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。例如，对于模糊集A={高个子}，如果论域是“成年男性”，则可构造隶属函数如图3(a)所示；而如果论域是“初中一年级男生”，则可构造隶属函数如图3(b)所示。Tx()Tx()110.50.500140170185200x140155170200x(a)(b)图3不同论域下“高个子”的隶属函数4.2二元对比排序法有些模糊概念不仅外延是模糊的，其内涵也不十分清晰，如“舒适性”、“满意度”等。对于

5、这样的模糊集建立隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于这个模糊概念的程度进行比较、排序。但一般来讲，人们对多个对象的同时比较存在着度量上的困难，为此Saaty教授在设计层次分析法时提出了两两比较的策略。借鉴两两比较排序的思想，人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。二元对比排序方法就是通过对多个对象进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些对象对该特征的隶属程度。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过多名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施，是一种比较实用的确定隶属函数的方法。设U={x,y,z,…}为给定的论域，A是某一

6、模糊概念。二元对比排序法的实施步骤为：1°对任取的一对元素x,y∈U进行比较，得到以y为标准x隶属于A的程度值fy(x)，以及以x为标准y隶属于A的程度值fx(y)。2°计算相对优先度函数：-2-数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法f(x)yf(x/y)=,∀x,y∈U(4.1)max{f(y),f(x)}xy或f(x)yf(x/y)=,∀x,y∈U(4.2)f(y)+f(x)xy显然，0≤f(x/y)≤1，∀x,y∈U。3°以f(x/y)为元素构造一个矩阵G，称为相对优先矩阵：⎛f(x/x)f(x/y)f(x/z)L⎞⎜⎟⎜f(y/x)f(y/y)f(y

7、/z)L⎟G=⎜⎟f(z/x)f(z/y)f(z/z)L⎜⎟⎜⎟⎝MMMM⎠4°对相对优先矩阵G的每一行取最小值或平均值，即得A的隶属函数为A(x)=min{f(x/y)},∀x∈Uy∈U或1A(x)=∑fy(x),∀x∈U

8、U

9、y∈U例3设U={x,y,z}表示三种服装款式构成的论域，A表示按照某人的标准对服装款式“满意”。对于∀x,y∈U，按照下面表1中给出的方法进行两两比较来计算fy(x)、fx(y)的值。表1两两比较评分表元素x，y相比较fx(y)的取值fy(x)的取值x比y隶属于A