D110闭区间上连续函数的性质(IV)

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1、第十节闭区间上连续函数的性质闭区间上的连续函数有着十分优良的性质，这些性质在函数的理论分析、研究中有着重大的价值，起着十分重要的作用。下面我们就不加证明地给出这些结论，好在这些结论在几何意义是比较明显的。闭区间上的连续函数:回顾：一、最大值和最小值定理定义:例如,定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得其最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.二、零点定理与介值定理定义:几何解释:证由零点定理,abABMmC几何解释:例1证由

2、零点定理,推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1.证明方程一个根.证:显然又故据零点定理,至少存在一点使即说明:内必有方程的根;取的中点内必有方程的根;可用此法求近似根.二分法在区间内至少有则则例2证由零点定理,例3证由零点定理知总之上连续,且恒为正,例2.设在对任意的必存在一点证:使令,则使故由零点定理知,存在即当时,取或,则有证明:注①方程f(x)=0的根函数f(x)的零点②有关闭区间上连续函数命题的证明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20间接法（辅助函数法）：先作辅助

3、函数，再利用零点定理辅助函数的作法（1）将结论中的ξ(或x0或c)改写成x（2）移项使右边为0，令左边的式子为F(x)则F(x)即为所求区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出，余下只须验证F(x)在所讨论的区间上连续，再比较一下两个端点处的函数值的符号，或指出要证的值介于F(x)在所论闭区间上的最大值与最小值之间。*三.一致连续性已知函数在区间I上连续,即:一般情形,就引出了一致连续的概念.定义:对任意的都有在I上一致连续.显然:例如,但不一致连续.因为取点则可以任意小但这说明在(0,1]上不一致连续.定理.上一

4、致连续.(证明略)思考:P74题7提示:设存在,作辅助函数显然三、小结四个定理有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;2.辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;思考题下述命题是否正确？思考题解答不正确.例函数1.任给一张面积为A的纸片(如图),证明必可将它思考与练习一刀剪为面积相等的两片.提示:建立坐标系如图.则面积函数因故由介值定理可知:作业P74题3;4;5备用题至少有一个不超过

5、4的证：证明令且根据零点定理,原命题得证.内至少存在一点在开区间显然正根.练习题