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1、第三章一元函数积分学及其应用积分学不定积分定积分积分研究函数的整体性态!第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的存在条件存在条件及性质第三章四、定积分的性质定积分的概念、何谓曲边梯形？请看下列的图形：平面封闭图形均可理解成数个曲边梯形的集合。一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积由连续曲线,两直线所围成的图形称为曲边梯形,求其面积A.曲线弧称为曲边，线段称为底边。abxyoab（四户村民）（九户村民）xyo显然，村民户数越多，分的越细，测量得到的总面积越接近土地精确面积．解决步骤:1)分割.在区间[a,b]中任意插入n–
2、1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个小曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应小曲边梯形面积得3)求和.4)取极限.令则曲边梯形面积解决问题的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值求近似以常（直）代变（曲）取极限2.变速直线运动的路程解决步骤:1)分割.将它分成在每个小段上物体n个小段经过的路程为设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.已知速度4)取极限.得2)常代变.3)求和.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割，常代变，求和，取极限”
3、所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程二、定积分定义任取在区间[a,b]中任意插入n–1个分点把区间[a,b]分成n个小区间做函数值与小区间长度的乘积1)分割.3)求和.2)常代变.总趋于确定的极限I,即如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间上的定积分则称此极限I为函数在区间(简称积分)，记作即4)取极限.上怎样选取，,积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和1.曲边梯形的面积2.变速直线运动的路程注意：(2)定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量用什么字母表示无关，
4、即(1)定积分是一个确定的数值.(3)定积分又被称为Riemann积分,简称R积分。(4)在定义中，当所有子区间的长度的最大值d趋近于0时，区间的个数n趋于无穷大，但不能用(5)定义包含了两个任意性，即对区间的分割与点的选取都是任意的.如果对区间的两种不同分割或的不同选择，得到的和式的极限不同，或者存在一个和式的极限不存在，则函数f在该区间上不可积。例如：Dirichlet函数x为有理数x为无理数在区间[0,1]上不可积！(6)定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和三、定积分的存在条件1.可积的必要条件
5、定理1.1若函数f在[a,b]上可积,则f在[a,b]上有界.注:可积函数必有界,有界不一定可积.如Dirichlet函数.证明:(反证法)若f在[a,b]上无界，则对任意分割,必存在子区间，使f在该子区间上无界。因此，对任意正数M，总存在使得可大于任给的常数。故其极限不存在,即f在[a,b]不可积。证毕！定义:设f为[a,b]上的有界函数,将区间[a,b]任意分2、可积的充分条件割为n个子区间取称为f在子区间上的振幅.和式分别称为f关于该分割的反之亦然!即有：Darboux大和与Darboux小和.2.如果f在区间[a,b]上可
6、积，则易知：1.对同一分割，唯一确定，且——————————————————————————定理1.2设函数f在[a,b]上有界，则f在[a,b]可即对任意的0，总存在相应的某一分割,使得当积的充要条件是：当时，分割出的所有子区间的长度的最大值时,（*）（*）式成立。（证明略.）定理1.33、可积函数类若则f在[a,b]上可积.解释：对[a,b]的任意分割，当d充分小时，f在每个子区间上的振幅都能任意小。定理1.4设f在区间[a,b]上有界，若f在[a,b]上只有有限个第一类间断点或者在[a,b]上单调,则f在[a,b]上可积
7、.解释：当d充分小时，虽不能保证f在每个子区间上的振幅都任意小，但振幅不能任意小的所有子区间长度之和可以任意小。函数也可积。取例1.利用定义计算定积分解:1)分割将[0,1]n等分,分点为则3)求和则2)常代变4)取极限例2.用定积分表示下列极限:解:四、定积分的性质规定:性质1.2（线性性质）若则并且性质1.1记在区间[a,b]上可积}.性质1.3若则证:推论1（单调性）若则推论2.若且则性质1.4若则且（#）注:性质1.4的逆命题不一定成立,例如为有理数,为无理数.例3.试证:证:设则在上,有即故即证:由定理1.2知f在I的所
8、有子区间可积.下证(1)式。所以在分割区间时,可以永远取c为分点，于是性质1.5（区间可加性）设I为有限区间,若f在I上可积,则f在I的任一子区间上都可积,且上可积,时,因在当（1）当a,b,c的相对位置任意时,例如则有令有证毕！性质1.6（乘积性
