线性变换、二阶矩阵及其乘法

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1、知识点考纲下载考情上线线性变换、二阶矩阵及其乘法1.了解二阶矩阵的概念．2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形的变换．(1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法．(2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点)，即A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换．3.变换的复合——二阶矩阵的乘法(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义．(2)理解矩阵乘法不满足交换律．(3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律.(4)理解矩

2、阵乘法不满足消去律.选考内容在高考中将以解答题的形式出现，难度不大，二阶矩阵及其乘法是高考的热点．知识点考纲下载考情上线逆变换与逆矩阵、矩阵的特征向量1.逆矩阵与二阶行列式(1)理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在．(2)理解逆矩阵的唯一性和(AB)－1＝B－1A－1等简单性质，了解其在变换中的意义．(3)了解二阶行列式的定义，会用二阶行列式求逆矩阵．2.二阶矩阵与二元一次方程组(1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意义．(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组．(3)理解线性方程组解的存在性、唯一性．3.变换的不变量(

3、1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向量的意义．4.利用矩阵A的特征值、特征向量给出Anα简单的表示，并能用来解决问题.本部分内容将以考查矩阵的运算及解线性方程组，如求逆矩阵，另外特征值与特征向量的求法也是常考知识点.一、二阶矩阵的定义1．由4个数a，b，c，d排成的正方形数表_______称为二阶矩阵．2．元素全为0的二阶矩阵_______称为零矩阵，简记为_．矩阵称为二阶单位矩阵，记为.二、几种特殊线性变换1．旋转变换直线坐标系xOy内的每个点绕原点O按逆时针方向旋转α角的旋转变换的坐标变换公式是对应的二阶矩阵为．

4、2．反射变换平面上任意一点P对应到它关于直线l的对称点P′的线性变换叫做关于直线l的反射．3．伸缩变换在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中k1，k2为非零常数，这样的几何变换为伸缩变换．4．投影变换设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P作直线l的垂线，垂足为点P′，则称点P′为点P在直线l上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线l上的投影P′，这个变换称为关于直线l的投影变换．5．切变变换平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为________，平行于y轴的切变变换对应的二阶

5、矩阵为_______．三、变换、矩阵的相等1．设σ，ρ是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果对平面内的任意一点P，都有，则称这两个线性变换相等．σ（P）=ρ（P）2．对于两个二阶矩阵A与B，如果它们的_________都分别相等，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B.对应元素四、矩阵与向量的乘法设A＝规定二阶矩阵A与向量α的乘积为向量________，记为或，即这是矩阵与向量的乘法．Aa五、线性变换的基本性质性质1.设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则(1)A(λα)＝；(2)A(α＋β)＝.

6、性质2.二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成______________．定理：设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个向量，λ1，λ2是任意两个实数，则A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.λAαAα＋Aβ直线（或一点）六、二阶矩阵的乘法1．设A＝则AB＝2．对直角坐标系xOy内的任意向量α，有A(Bα)＝.3．二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝.4．AkAl＝___，(Ak)l＝Akl.(AB)a(AB)CAk+l1．已知矩阵M＝向量α＝，试判断(MN)α与M(Nα)的关系，MN与NM的关系．解：

7、(MN)α＝M(Nα)＝所以(MN)α＝M(Nα)．又因为MN＝NM＝，所以MN≠NM.2．求圆C：x2＋y2＝4在矩阵A＝对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．解：设P(x，y)是圆C：x2＋y2＝4上的任一点，P1(x′，y′)是P(x，y)在矩阵A＝对应变换作用下新曲线上的对应点，则将代入x2＋y2＝4，得＋y′2＝4，∴方程1表示的曲线是焦点为(±2，0)，长轴长为8的椭圆．3．设a，b∈R，若M＝所定义的线性变换把直线l：2x＋y－7＝0变换成另一直线l′：x＋y－7＝0，求a，b的值．解：取直线l：2x＋y－

8、7＝0上任一点(x0,7－2x0)，则它在对应的变换作用下有而点(ax0，－x0＋7b－2bx0)在直线l′：x＋y－7＝0上，即ax0－x0＋7b－2bx0＝7.由x0的任意性得4.运用旋转矩阵，求直线2x＋y－1＝0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．解：旋转矩阵直线