不动点迭代法求解非线性方程组

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1、不动点迭代法求解非线性方程组摘要：一般非线性方程组可以写成的形式，其中是定义在区域上的向量函数。把方程组改写成与之等价的形式：。因此，求方程组的解就转化为求函数的的不动点。本文首先介绍了多变量函数的微积分性质，接着介绍了用不动点迭代法求解非线性方程组。关键词：多变量函数；微积分；不动点FixedPointIterationMethodForSolvingNonlinearEquationsAbstract：Generalnonlinearequationscanbewrittenintheformof,wherethevectorfunct

2、ionisdefinedontheregion.Transformtheequationsintoitsequivalentform:.Therefore,wecangetthesolutionofbyfindingthefixedpointof.Inthispaper,wefirstintroducesomeknowledgeaboutmultivariablecalculus,thenintroducethefixedpointiterationmethodforsolvingnonlinearequations.Keywords:mu

3、lti-variablefunction;calculus;fixedpoint1引言一般非线性方程组及其向量表示法:含有个方程的元非线性方程组的一般形式为（1）其中，是定义在上的元实值函数，且中至少有一个是非线性函数。令，，则方程组可以表示为（2）其中是定义在区域上的向量函数。若存在，使，则称是方程组（1）或（2）的解。把方程组改写成与之等价的形式：其中。若满足，则称为函数的不动点。因此的不动点就是方程组的解，求方程组的解就转化为求函数的的不动点。适当选取初始向量，构成迭代公式迭代公式也称为求解方程组的简单迭代法，又称不动点迭代法。称为迭

4、代函数。由于是多变量函数，所以我们先考虑多变量函数的微积分性质。2多变量函数的微积分性质在之前我们已经学习过很多关于单变量函数的微积分的性质，由于解非线性方程组经常用到的是多变量函数的相关性质，因此我们考虑多变量函数的微积分性质。相对于单变量函数的微积分的性质，多变量函数的微积分性质一些是类似的，一些是不同的。相对于单变量函数的可微的定义，我们事先给出多变量函数的可微定义。2.1函数的微积分性质设函数多变量函数。我们首先考虑当是连续的函数的情况，如果关于个变量的偏导数都存在并且连续，把这个偏导数组成一个维向量，则我们把这个维向量称作多变量函

5、数的梯度。定义1：连续可微函数，如果，；存在并且连续，则称函数在点上连续可微，并且称为函数在点的梯度。如果函数在开区域上每一点连续可微，则称函数在开区域连续可微，记作。下面我们给出关于多变量函数的梯度的一些性质：引理1设在开凸集连续可微，则对于以及任意一个非零扰动，则函数在点在方向上的方向导数定义为存在并且等于。对于，，并且存在使得，。下面我们给我这个引理的证明过程，主要思想是把多变量函数转化为单变量函数，然后利用我们已知的单变量函数微积分的性质来证明多变量函数微积分的性质。证明：首先在点到点的连线上对函数进行参数化，转变成单变量函数。定义

6、，。由链式法则，对于，。因为，所以令，我们就可以得到。由单变量函数的牛顿定理我们可知，。根据前面对函数的定义，上式也可以写成。这就得到我们所要的证明。最后，由单变量函数的积分中值定理，根据函数的定义，我们可以写成，。对进行变量替换，可得，从而得证。2.2函数的微积分性质下面给出多变量函数二次可微的定义，并进一步给出函数的Hessian矩阵的定义。定义2：连续可微函数，如果，存在并且连续，则称函数在点上二次连续可微；定义一个矩阵，其中第元素为，，则称这个矩阵为函数的Hessian矩阵。如果函数在开区域上每一点连续可微，则称函数在开区域连续可微

7、，记作。类似的我们给出关于多变量函数的二阶连续可微的一个引理。引理2：设函数在开凸集二次连续可微，则对于以及任意一个非零扰动，则函数在点在方向上的二阶方向导数存在，并且等于。对于对于，存在使得。定理的证明过程与一阶连续可微情况的证明过程类似。从Hessian矩阵的定义可知，只要函数是二次连续可微的，那么Hessian矩阵是对称的。2.3函数的微积分性质我们进一步考虑更复杂的情况，也就是从空间到空间的函数，设函数，具体可以写成。其中，非线性联立方程问题是的情况；非线性最小二乘问题是的情况。下面我们给出函数的相关可微性质：定义3连续函数，如果每

8、一个部分函数在点连续可微，则称函数在点连续可微。函数在点的导数叫作在点的Jacobian矩阵，它的转置叫作在点的梯度。通常的表示为，，。如果在开区域上每一点连续可微，则称函数在开