量子物理学基础

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1、量子力学，建立于1923年—1927年间，两个等价的理论——矩阵力学和波动力学。相对论量子力学（1928年，狄拉克）：描述高速运动的粒子的波动方程。薛定谔（ErwinSchrödinger，1887—1961）奥地利物理学家。1926年建立了以薛定谔方程为基础的波动力学，并建立了量子力学的近似方法。薛定谔是奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。薛定谔的波动力学，是在德布罗意提出的物质波的基础上建立起来的。他把物质波表示成数学形式，建立了称为薛定谔方程的量子力学波动方程

2、。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。在经典极限下，薛定谔方程可以过渡到哈密顿方程。薛定谔方程是量子力学中描述微观粒子（如电子等）运动状态的基本定律，在粒子运动速率远小于光速的条件下适用。薛定谔对分子生物学的发展也做过工作。由于他的影响，不少物理学家参与了生物学的研究工作，使物理学与生物学相结合，形成现代分子生物学的最显著的特点之一。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，状态随时间的变化遵循着一定的规律。1926年

3、，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基础上建立了势场中微观粒子的微分方程，并提出了一系列理论体系，当时被称作波动力学，现在统称量子力学。薛定谔方程建立应满足的条件11.7薛定谔方程（1）波函数应满足含有时间微商的微分方程。（2）要建立的方程是线性的，即如果1，2是方程的解，则1和2的线性叠加a1+b2也应是方程的解。（量子力学态的叠加原理）（3）这个方程的系数不应含有状态参量（动量、能量等）。（4）经典力学中自由粒子动量与能量的关系（非相对论关系）E=p2/2m在量子力学中仍成立。例如：对于都满足：但该方程不具有普遍性，因它只能满足特定动量P和

4、能量E的波。单能粒子（沿x方向匀速直线运动）若现在利用E=P2/2m消去E，P将得到一个含的非线性方程，不满足条件（2），所以再微分沿x方向运动的动能为E和动量为的自由粒子的波函数一维自由运动粒子的薛定谔方程利用E=P2/2m单能势场中运动的粒子（沿x方向匀速直线运动）此时粒子具有的能量：同样导出：势场中一维运动粒子的薛定谔方程利用E=P2/2m对三维运动的粒子引入拉普拉斯算符：则有再引入哈密顿算符：则有一般的薛定谔方程定态薛定谔方程（即V(x,y,z)不随时间变化）两边除以可得：若作用在粒子上的势场不显含时间t时，在经典力学中这相应于粒子机械能守恒的情况

5、。薛定谔方程可用分离变量法求它的特解。由于空间变量与时间变量相互独立，所以等式两边必须等于同一个常数，设为E，则有：定态薛定谔方程可见E具有能量的量纲与自由粒子波函数类比它代表粒子的能量。把常数A归到空间部分，薛定谔方程的特解为：定态波函数对应的几率密度与时间无关。即：处于定态下的粒子具有确定的能量E，粒子在空间的概率密度分布不随时间变化，而且力学量的测量值的几率分布和平均值都不随时间变化。量子力学的处理方法（1）已知粒子的m，势能函数V，即可给出薛定谔方程。（2）由给定的初、边值条件，求出波函数。（3）由波函数给出不同地点、时刻粒子的几率密度

6、

7、2

8、。下面以一维无限深势阱为例，求解定态薛定谔方程。11.8一维无限深势阱一维谐振子以一维定态为例，求解已知势场的定态薛定谔方程。了解怎样确定定态的能量E，从而看出能量量子化是薛定谔方程的自然结果。已知粒子所处的势场为：粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力。称为一维无限深势阱。其定态薛定谔方程：在阱内粒子势能为零，满足：在阱外粒子势能为无穷大，满足：方程的解必处处为零：根据波函数的标准化条件，在边界上所以，粒子被束缚在阱内运动。在阱内的薛定谔方程可写为：类似于简谐振子的方程，其通解：代入边界条件得：所以，n不能取零，否则无意

9、义。因为结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。结论由归一化条件一维无限深势阱中运动的粒子其波函数：称为量子数；为本征态；为本征能量。讨论（1）零点能的存在称为基态能量。（2）能量是量子化的。是由标准化条件而来。能级间隔：当能级分布可视为连续的。在某些极限的条件下，量子规律可以转化为经典规律。势阱中相邻能级之差能量能级相对间隔当时，，能量视为连续变化。例：电子在的势阱中，（近似于连续）当时，（能量分立）当很大时，，量子效应不明显，能量可视为连续变化，此即为经典对应。物理意义一维无限深势阱中粒子的能级、波函数和几率密度势垒贯

10、穿（隧道效应）OIIIIII定态薛定谔方程的解又如何呢？在经典力学